Question

25、已知：如图，⊙O和⊙O₁内切于A，直线OO₁交⊙O于另一点B、交⊙O₁于另一点F，过B点作⊙O₁的切线，切点为D，交⊙O于C点，DE⊥AB，垂足为E．求证：
（1）CD=DE；
（2）若将两圆内切改为外切，其它条件不变，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论．

Answer 1

分析：要证明CD=DE，可以把它们构造到两个全等三角形中三角形ADE和三角形ACD中，根据圆周角定理的推论和弦切角定理以及等角的余角相等证明∠ADE=∠ADC．再结合直角和公共边证明两个三角形全等．

解答：证明：（1）连接DF、AD；
∵AF为⊙O₁的直径，
∴FD⊥AD，又DE⊥AB，
∴∠DFE=∠EDA，
∵BC为⊙O1的切线，
∴∠CDA=∠DFE，
∴∠CDA=∠EDA；
连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC，又AD公共，
∴Rt△EDA≌Rt△CDA，
∴CD=DE．

（2）当两圆外切时，其他条件不变，（1）中的结论仍成立，证法同（1）．

点评：能够综合运用圆周角定理的推论、弦切角定理、等角的余角相等，掌握全等三角形的性质和判定．在解决一题多变的时候，思路基本相似．