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如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）S_△AMN= $\text{[math]}$ x²（3）；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM
∴点M是AB中点，即当x= $\text{[math]}$ AB=2时，点P恰好落在边BC上．

（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y= $\text{[math]}$ x²
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴y= $\text{[math]}$
（ii）∵当0＜x≤2时，y= $\text{[math]}$ x²
∴易知y_最大= $\text{[math]}$
又∵当2＜x＜4时，y= $\text{[math]}$ x²+6x-6= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²+2．
∴当 $\text{[math]}$ 时（符合2＜x＜4），y_最大=2，
综上所述，当 $\text{[math]}$ 时，重叠部分的面积最大，其值为2．

分析：（1）因为MN∥BC，所以△AMN∽△ABC，所以根据相似三角形的性质即可求得MN的值与MN边上的高的值，即可求得面积；
（2）根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x= $\text{[math]}$ AB=2时，点P恰好落在边BC上；
（3）分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，易见y= $\text{[math]}$ x²．
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
点评：此题考查了折叠问题，要注意对应的线段对应的角相等，此题还考查了相似三角形的性质，解题的关键是数形结合思想的应用．

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；
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