分析 问题1:如图①中,延长EB到H,满足BH=DF,连接AH,只要证明△AHE≌△AFE,即可推出∠AEF=∠AEB;
问题2:(1)如图②中,过点D分别向AC、BC、EF作垂线,垂足分别为G、H、M,利用(1)中即可,根据角平分线的性质定理即可解决问题,
(2)在Rt△DEG中,DE=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{(a-2)^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4a+8}$,由S△AED=$\frac{1}{2}$•AE•DG=a,△DEF∽△AED,推出$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△AED}}$=($\frac{DE}{AE}$)2=$\frac{{a}^{2}-4a+8}{{a}^{2}}$,由此即可解决问题;
解答 问题1:证明:如图①中,延长EB到H,满足BH=DF,连接AH
∵AB=AD,∠ABH=∠D=90°,BH=DF,
∴△ADF≌ABH,
∴∠DAF=∠BAH,AF=AH,
∵∠DAF+∠BAE=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°,
即∠EAH=∠BAH+∠BAE=45°,
∴∠EAH=∠EAF,
又∵AF=AH,AE=AE,
∴△AHE≌△AFE,
∴∠AEF=∠AEB.
问题2:解:(1)过点D分别向AC、BC、EF作垂线,垂足分别为G、H、M,
∵∠ACB=90°,∴CGDH为矩形,∵AC=BC=4,D为AB中点,
∴DG=DH=$\frac{1}{2}$BC=2,
∴四边形CGDH为正方形,
由问题1知∠DEG=∠DEM,
∴DM=DG=2.
(2)在Rt△DEG中,DE=$\sqrt{E{G}^{2}+D{G}^{2}}$=$\sqrt{(a-2)^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-4a+8}$,
∵S△AED=$\frac{1}{2}$•AE•DG=a,
∵△DEF∽△AED,
∴$\frac{{S}_{△DEF}}{{S}_{△AED}}$=($\frac{DE}{AE}$)2=$\frac{{a}^{2}-4a+8}{{a}^{2}}$,
∴S△DEF=$\frac{{a}^{2}-4a+8}{a}$.
故答案为$\frac{{a}^{2}-4a+8}{a}$.
点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com