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某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地(如图)进行改造,将它分割成△AHG,△BHE,△CGF和矩形EF-GH四部分,且矩形EFGH作为停车场.经测量BC=120m,高AD=80m.
(1)若学校计划在△AHG上种草,在△BHE,△CGF上都种花,如何设计矩形的长、宽使得种草的面积与种花的面积相等?
(2)若种草的投资是每平方米6元,种花的投资是每平方米10元,停车场铺地砖投资是每平方米4元,又如何设计矩形的长、宽使得△ABC空地改造投资最小?最小为多少?
分析:(1)可利用相似分别表示出相应的三角形的底与高,让面积相等即可
(2)把相应的总投资用含x的代数式表示出后,求出二次函数的最值即可.
解答:解:(1)设FG=x米,则AK=(80-x)米.
由△AHG∽△ABC,BC=120,AD=80,可得:
HG
120
=
80-x
80

∴HG=120-
3
2
x

BE+FC=120-(120-
3
2
x
)=
3
2
x
,(2分)
1
2
•(120-
3
2
x
)•(80-x)=
1
2
×
3
2
x
•x,
解得x=40.
∴当矩形的长为60米,宽为40米时,种草的面积和种花的面积相等.

(2)设改造后的总投资为W元.
则W=
1
2
•(120-
3
2
x
)•(80-x)•6+
1
2
×
3
2
x
•x•10+x(120-
3
2
x
)•4
=6x2-240x+28800
=6(x-20)2+26400
∵二次项系数6>0,
∴当x=20时,W最小=26400.
答:当矩形EFGH的边FG长为20米时,空地改造的总投资最小,最小值为26400元.
点评:本题考查三角形相似的应用以及二次函数的最值,需注意在做题过程中加以理解应用.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示.某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120米,高AD长80米.学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如图).其中矩形EFGH的一边EF在边BC上.其余两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草,每平方米投资6元;在△BHE、△FCG上都种花,每平方米投资10精英家教网元;在矩形EFGH上兴建爱心鱼池,每平方米投资4元.
(1)当FG长为多少米时,种草的面积与种花的面积相等?
(2)当矩形EFGH的边FG为多少米时,△ABC空地改造总投资最小,最小值为多少?

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图所示,某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造.已知△ABC的边BC长120米,高AD长80米.学校计划将它分割成△AHG、△BHE、△GFC和矩形EFGH四部分(如图).其中矩形EFGH的一边EF在边BC上.其中两个顶点H、G分别在边AB、AC上.现计划在△AHG上种草,在△BHE、△GFC上都种花,在矩形EFGH上兴建喷泉.当FG长为多少米时,喷泉面积恰好等于锐角三角形ABC的一半,并求出此时种草的面积和种花的面积各是多少平方米?

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地(如图)进行改造,将它分割成△AHG,△BHE,△CGF和矩形EF-GH四部分,且矩形EFGH作为停车场.经测量BC=120m,高AD=80m.
(1)若学校计划在△AHG上种草,在△BHE,△CGF上都种花,如何设计矩形的长、宽使得种草的面积与种花的面积相等?
(2)若种草的投资是每平方米6元,种花的投资是每平方米10元,停车场铺地砖投资是每平方米4元,又如何设计矩形的长、宽使得△ABC空地改造投资最小?最小为多少?

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