Question

某学校计划将校园内形状为锐角△ABC的空地（如图）进行改造，将它分割成△AHG，△BHE，△CGF和矩形EF-GH四部分，且矩形EFGH作为停车场．经测量BC=120m，高AD=80m．
（1）若学校计划在△AHG上种草，在△BHE，△CGF上都种花，如何设计矩形的长、宽使得种草的面积与种花的面积相等？
（2）若种草的投资是每平方米6元，种花的投资是每平方米10元，停车场铺地砖投资是每平方米4元，又如何设计矩形的长、宽使得△ABC空地改造投资最小？最小为多少？

Answer 1

分析：（1）可利用相似分别表示出相应的三角形的底与高，让面积相等即可
（2）把相应的总投资用含x的代数式表示出后，求出二次函数的最值即可．

解答：解：（1）设FG=x米，则AK=（80-x）米．
由△AHG∽△ABC，BC=120，AD=80，可得：

HG

120

=

80-x

80

，
∴HG=120-

3

2

x，
BE+FC=120-（120-

3

2

x）=

3

2

x，（2分）
∴

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）=

1

2

×

3

2

x•x，
解得x=40．
∴当矩形的长为60米，宽为40米时，种草的面积和种花的面积相等．

（2）设改造后的总投资为W元．
则W=

1

2

•（120-

3

2

x）•（80-x）•6+

1

2

×

3

2

x•x•10+x（120-

3

2

x）•4
=6x²-240x+28800
=6（x-20）²+26400
∵二次项系数6＞0，
∴当x=20时，W_最小=26400．
答：当矩形EFGH的边FG长为20米时，空地改造的总投资最小，最小值为26400元．

点评：本题考查三角形相似的应用以及二次函数的最值，需注意在做题过程中加以理解应用．