Question

19．如图，点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为9．

Answer 1

分析 过A作AH⊥BO于H，AE⊥x轴于E，过C作CD⊥x轴于D，由点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上一点，得到S_△AHO=S_△AOE=$\frac{1}{2}$k，根据等腰三角形的性质得到S_△ABH=S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，求得S_△AOB=k，由点C反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，得到S_△COD=$\frac{1}{2}$，根据相似三角形的性质得到$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，根据三角形的面积列方程即可得到结论．

解答 解：过A作AH⊥BO于H，AE⊥x轴于E，过C作CD⊥x轴于D，
∵点A是反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上一点，
∴S_△AHO=S_△AOE=$\frac{1}{2}$k，
∵AB=AO，
∴BH=OH，
∴S_△ABH=S_△AOH=$\frac{1}{2}$k，
∴S_△AOB=k，
∵点C反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）的图象上，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}$，
∵CD∥AE，
∴△COD∽△AOE，
∴$\frac{{S}_{△COD}}{{S}_{△AOE}}$=（$\frac{OC}{AO}$）²=$\frac{1}{k}$，
∴$\frac{OC}{OA}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，
∴$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△AOB}}$=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，
∵△ABC的面积为6，
∴$\frac{1}{\sqrt{k}}$=$\frac{k-6}{k}$，
解得k=9，k=4（不合题意，舍去），
∴k=9．
故答案为：9．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．