Question

已知二次函数y=x²-x+c．
（1）若点A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函数y=x²-x+c的图象上，求此二次函数的最小值；
（2）若点D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）、P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2+时，试判断直线DE与抛物线y=x²-x+c+的交点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）将A，B的坐标代入抛物线的解析式中，可得出关于n、c两个未知数的二元一次方程组，可求出n、c的值，进而可得出抛物线的解析式．根据抛物线的解析式可用公式法或配方法求出函数的最小值．
（2）求直线DE与抛物线有几个交点，可联立两函数的解析式，得出一个二元一次方程，然后根据△的不同取值范围，来判断交点的个数．因此关键是求出DE所在直线的解析式．可设DE的解析式为y=kx，那么根据直线与二次函数y=x²-x+c交于D、E两点，可联立两式得出一个关于x的二元一次方程，由于两根互为相反数，因此-=0，可求出k的值，即可确定出直线DE的解析式．已知了OP的取值范围，由于OP=m（根据P的坐标即可求出）．因此可得出m的取值范围．然后将P点坐标代入抛物线y=x²-x+c中即可得出c的取值范围．
然后可联立y=-x与y=x²-x+c+，可得出一个二元一次方程，根据△的不同取值范围以及求出的c的取值范围即可判定出两函数的交点个数．
解答：解：
（1）由题意得
解得
∴二次函数y=x²-x-1的最小值是-．

（2）解：∵点P（m，m）（m＞0），
∴PO=m．
∴2≤m≤+2．
∴2≤m≤1+．
∵2≤m≤1+，
∴1≤m-1≤．
∴1≤（m-1）²≤2．
∵点P（m，m）（m＞0）在二次函数y=x²-x+c的图象上，
∴m=m²-m+c，即1-c=（m-1）²．
∴1≤1-c≤2．
∴-1≤c≤0．
∵点x₁，x₂关于原点对称．
设直线DE：y=kx．
则根据题意有kx=x²-x+c，
即x²-（k+1）x+c=0．
∵-1≤c≤0，
∴（k+1）²-4c≥0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有实数根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直线DE：y=-x．
若
则有x²+c+=0．即x²=-c-．
当-c-=0时，
即c=-时，方程x²=-c-有相同的实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+有唯一交点．
②当-c-＞0时，
即c＜-时，即-1≤c＜-时，
方程x²=-c-有两个不同实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+有两个不同的交点．
③当-c-＜0时，即c＞-时，即-＜c≤0时，
方程x²=-c-没有实数根，
即直线y=-x与抛物线y=x²-x+c+没有交点．
点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式以及函数交点的求法等重要知识点，（2）中根据已知条件求出直线DE的解析式是解题的关键．