Question

如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）、（0，3）
（1）求此抛物线对应的函数解析式；
（2）若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点，求△ABP面积的最大值；
（3）若过点A（-1，0）的直线AD与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形的面积为6，求此直线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据对称轴设出抛物线的解析式，由A、C的坐标根据待定系数法就可以求出解析式．
（2）设出P点的坐标，由（1）求出点A、B的坐标，求出AB的长度，由三角形的面积公式表示出△ABP的面积．
（3）由对称轴设出点D（1，b）坐标，根据三角形的面积建立等量关系就可以求出D的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+k，
∴

0=4a+k 3=a+k

解得：

a=-1 k=4

，
∴y=-（x-1）²+4即y=-x²+2x+3

（2）∵y=-x²+2x+3，当y=0时，
∴x²-2x-3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），A（-1，0）
∴AB=4．
设P（a，-a²+2a+3）
∴S_△ABP=

4(-a2+2a+3)

2

=-2（a-1）²+8，
∴△ABP面积的最大值为8

（3）设D的坐标为（1，b），
∴

2×|b|

2

=6，
∴b=±6，
∴D（1，6）或（1，-6），设AD的解析式为y=kx+b，得

0=-k+b 6=k+b

或

0=-k+b -6=k+b

解得：

k=3 b=3

或

k=-3 b=-3

∴直线AD的解析式为：y=3x+3或y=-3x-3．

点评：本题是一道二次函数的综合试题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的解析式，三角形的面积公式的运用．