Question

如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD、BE交于Q点，BP垂直AD于P点，求证：BQ=2PQ．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：首先证得△ABE≌△CAD，得∠ABE=∠CAD，又∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，所以，∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，所以，在直角△BPQ中，∠QBP=30°，即可证得BQ=2PQ．

解答：证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，

AB=CA ∠BAE=∠C AE=CD

，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
又∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，
∴∠BQP=∠ABE+∠BAQ=60°，
又∵BP⊥AD，
∴在直角△BPQ中，∠QBP=30°，
∴BQ=2PQ．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的判定与性质，考查了学生综合运用知识解答问题的能力．