Question

5．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，点E、F分别在AD和AD的延长线上，且∠AEC=∠BAC，BF∥CE，
（1）探索∠AFB与∠BAC的关系，并证明．
（2）图中是否存在与AF相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）∠AFB与∠BAC互补，由BF∥CE得∠AFB=∠CEF，由∠AEC=∠BAC，∠CEF与∠AEC互补即可证到∠AFB与∠BAC互补．
（2）由图可猜想CE=AF．在AF上取一点G，使AG=BF，易证△ABF≌△CAG，从而有AF=CG，∠AFB=∠CGA；由∠AFB=∠CEF可得∠CGA=∠CEF，从而有CE=CG，则CE=AF．

解答 解：（1）∠AFB与∠BAC互补，
∵BF∥CE，
∴∠AFB=∠CEF．
∵∠CEF与∠AEC互补，∠AEC=∠BAC，
∴∠CEF与∠BAC互补．
∴∠AFB与∠BAC互补．
（2）存在，CE=AF．
证明：在AF上取一点G，使AG=BF，如图1，

∵∠AFB+∠BAF+∠CAF=∠AFB+∠BAC=180°，
∠AFB+∠BAF+∠ABF=180°，
∴∠ABF=∠CAF．
在△ABF和△CAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠ABF=∠CAG}\\{BF=AG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CAG（SAS）． 
∴AF=CG，∠AFB=∠CGA．
又∵∠AFB=∠CEF，
∴∠CGA=∠CEF．
∴CE=CG．
∴CE=AF．

点评 本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，解决本题（2）的关键是作出辅助线，证明三角形全等．