Question

【题目】如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD的中点，直角∠GEF的两直角边EF、EG分别交CD、BC于点F、G．

（1）若点F是边CD的中点，求EG的长；

（2）当直角∠GEF绕直角顶点E旋转，旋转过程中与边CD、BC交于点F、G．∠EFG的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠EFG的值；

（3）如图3，连接CE交FG于点H，若，请求出CF的长．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）∠EFG的大小不发生变化，理由见详解；；（3）．

【解析】

（1）根据点E是对角线BD的中点，点F是边CD的中点，可证，再根据可得四边形EGCF是矩形，则点G是边BC的中点，可求出EG；

（2）作交于，交于，可得是绕直角顶点E旋转而得到的，利用，，易证，根据相似比可得，则有，可知的大小在转动的过程中不会发生变化；利用，，可得，，则；

（3）连接CE交FG于点H，作交于，交于，过点E作交于，则是绕直角顶点E旋转而得到的，由（2）知的大小在转动的过程中不会发生变化，易证，则，有，可得，设，则，可求得，,利用勾股定理即可求出的值，即可得到的值．

解：（1）如图示，

∵点E是对角线BD的中点，点F是边CD的中点，

∴,

∵,

∴

∴四边形EGCF是矩形，

∴,

∴点G是边BC的中点，

∴;

（2）答：∠EFG的大小不会发生变化。

证明：如图示：作交于，交于，连接

∴,,

∴是绕直角顶点E旋转而得到的，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴的大小在转动的过程中不会发生变化；

∵点E是对角线BD的中点，，，

∴，

∴

（3）如图示，连接CE交FG于点H，作交于，交于，过点E作交于，

则是绕直角顶点E旋转而得到的，

∴

又∵

∴

∴

∴

∴，即：,

设，则，

由（2）可知：，，

∴，即：，

∴，,

在中，,

即：，解之得：（取正值），

即：．