Question

29、如图：在正方形ABCD中，点P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ，过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G，AP、EQ的延长线相交于R．
（1）求证：DP=CG；
（2）判断△PQR的形状，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）正方形对角线AC是对角的角平分线，可以证明△ADP≌△DCG，即可求证DP=CG．
（2）由（1）的结论可以证明△CEQ≌△CEG，进而证明∠PQR=∠QPR．故△PQR为等腰三角形．

解答：解：（1）证明：在正方形ABCD中，
AD=CD，∠ADP=∠DCG=90°，
∠CDG+∠ADH=90°，
∵DH⊥AP，∴∠DAH+∠ADH=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∴△ADP≌△DCG，
∵DP，CG为全等三角形的对应边，
∴DP=CG．

（2）△PQR为等腰三角形．
∠QPR=∠DPA，∠PQR=∠CQE，
∵CQ=DP，由（1）的结论可知
∴CQ=CG，∵∠QCE=∠GCE，CE=CE，
∴△CEQ≌△CEG，即∠CQE=∠CGE，
∴∠PQR=∠CGE，
∵∠QPR=∠DPA，且（1）中证明△ADP≌△DCG，
∴∠PQR=∠QPR，
所以△PQR为等腰三角形．

点评：本题中证明△ADP≌△DCG是关键，并且利用（1）的结论来证明（2）的推论．本题考查的是正方形对角线即角平分线，考查全等三角形的证明，并把所求角转换为全等三角形对应角进行求证．