Question

如图，直线y₁=2x与双曲线y2=

8

x

相交于点A、E．另一直线y₃=x+b与双曲线交于点A、B，与x、y轴分别交于点C、D．直线EB交x轴于点F．
（1）求A、B两点的坐标，并比较线段OA、OB的长短；
（2）由函数图象直接写出函数y₂＞y₃＞y₁的自变量x的取值范围；
（3）求证：△COD∽△CBF．

Answer 1

（1）由题意得：

y=2x y= 8 x

，
解得

x=2 y=4

，或

x=-2 y=-4

，
∴A（-2，-4），E（2，4），
将A坐标代入y₃=x+b中，得b=-2，即y₃=x-2，
联立得：

y= 8 x y=x-2

解得：

x=4 y=2

，
∴B（4，2）；
OA=

22+42

，OB=

22+42

，
∴AO=BO，

（2）∵A点坐标为（-2，-4），
∴结合图象当x＜-2时，y₂＞y₃＞y₁；

（3）设直线EB的解析式为y=k₁x+b₁，直线AB的解析式为y=k₂x+b₂，
则有

4k1+b1=2 2k1+b1=4

，

-2k2+b2=-4 4k2+b2=2

，
解得：

k1=-1 b1=6

，

b2=-2 k2=1

∵k₁•k₂=-1，
∴AB⊥EF，∴∠CBF=∠DOC=90°
∵∠OCD=∠BCF，
∴△DOC∽△CBF．