Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O₁为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求cos∠CAB的值和⊙O₁的半径；
（3）若点E为抛物线对称轴上的一点，请探索抛物线上是否存在点F使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO₁C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；
（3）根据抛物线的解析式求得顶点的横坐标，即可得到E的横坐标，根据AB的长求得F的横坐标，代入抛物线的解析式即可求得纵坐标，得出F的坐标．
（4）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），
∴

9a-3b+3=0 a-b+3=0

，
解得a=1，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=x²+4x+3．

（2）由（1）知，抛物线解析式为：y=x²+4x+3，
∵令x=0，得y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴cos∠CAB=

2

2

．
在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=

12+32

=

10

．
如答图1所示，连接O₁B、O₁C，
由圆周角定理得：∠BO₁C=2∠BAC=90°，
∴△BO₁C为等腰直角三角形，
∴⊙O₁的半径O₁B=

2

2

BC=

5

．


（3）存在；
∵抛物线的解析式为：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-1），
∴E点的横坐标为-2，
∵A（-3，0），B（-1，0），
∴AB=2，
∵以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，
∴EF=AB=2，
∴F点的横坐标为0或-4，
∴当x=0时，y=3，
∴F₁（0，3）
当x=-4时，y=x²+4x+3=（-4）²+4×（-4）+3=3，
∴F₂（-4，3）
∴存在点F使以A、B、E、F为顶点的四边形为平行四边形，F点的坐标为（0，3）或（-4，3）．

（4）抛物线y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2．
又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称．
如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称，
∴D（-4，3）．
又∵点M为BD中点，B（-1，0），
∴M（-

5

2

，

3

2

），
∴BM=

【- 5 2 -(-1)】2+( 3 2

)2=

3

2

2

；
在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3），
由两点间的距离公式得：BP=

2

，BC=

10

，PC=2

5

．
∵△BMN∽△BPC，
∴

BM

BP

BN

BC

═

MN

PC

，即

3 2 2

2

=

BN

10

=

MN

2 5

，
解得：BN=

3

2

10

，MN=3

5

．
设N（x，y），由两点间的距离公式可得：

(x+1)2+y2=( 3 2 10 )2 (x+ 5 2 )2+(y- 3 2 )2=(3 5 )2

，
解之得，

x1= 7 2 y1=- 3 2

，

x2= 1 2 y2=- 9 2

，
∴点N的坐标为（

7

2

，-

3

2

）或（

1

2

，-

9

2

）．

点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（4）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标．