Question

15．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，线段OE与CD之间有怎样的数量关系，线段DF与CF之间有怎样的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用基本作图（作一个角的平分线）作OP平分∠AOB，再作线段CD的垂直平分线，从而可得到OE、CF、DF；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到FD=FC，AE=CE，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OE=$\frac{1}{2}$CD．

解答 解：（1）如图，OE、CF、DF为所作；

（2）OE=$\frac{1}{2}$CD，DF=CF．理由如下：
∵EF垂直平分CD，
∴FD=FC，AE=CE，
而∠AOB=90°，
∴OE为Rt△OCD斜边上的中线，
∴OE=$\frac{1}{2}$CD．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．