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(2007•衢州)请阅读下列材料:
问题:如图(1),一圆柱的底面半径、高均为5cm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线:
路线1:侧面展开图中的线段AC.如下图(2)所示:
设路线1的长度为l1,则l12=AC2=AB2+2=52+(5π)2=25+25π2
路线2:高线AB+底面直径BC.如上图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225



l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l12>l22,∴l1>l2
所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=______;
路线2:l22=(AB+BC)2=______
∵l12______l22
∴l1______l2(填>或<)
∴选择路线______(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.
【答案】分析:(1)根据勾股定理易得路线1?∈l12=AC2=高2+底面周长一半2;路线2:l22=(高+底面直径)2;让两个平方比较,平方大的,底数就大.
(2)根据(1)得到的结论让两个代数式分三种情况进行比较即可.
解答:解:(1)路线1:l12=AC2=25+π2;路线2:l22=(AB+BC)2=49.
∵l12<l22
∴l1<l2(填>或<),
∴选择路线1(填1或2)较短.(5分)

(2)l12=AC2=AB2+2=h2+(πr)2
l22=(AB+BC)2=(h+2r)2
l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h];
r恒大于0,只需看后面的式子即可.(2分)
时,l12=l22
当r>时,l12>l22
当r<时,l12<l22
点评:比较两个数的大小,有时比较两个数的平方比较简便,比较两个数的平方,通常让这两个数的平方相减.注意运用类比的方法做类型题.
练习册系列答案
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路线1:侧面展开图中的线段AC.如下图(2)所示:
设路线1的长度为l1,则l12=AC2=AB2+2=52+(5π)2=25+25π2
路线2:高线AB+底面直径BC.如上图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225



l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l12>l22,∴l1>l2
所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=______;
路线2:l22=(AB+BC)2=______
∵l12______l22
∴l1______l2(填>或<)
∴选择路线______(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

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科目:初中数学 来源:2007年全国中考数学试题汇编《三角形》(12)(解析版) 题型:解答题

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问题:如图(1),一圆柱的底面半径、高均为5cm,BC是底面直径,求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线.小明设计了两条路线:
路线1:侧面展开图中的线段AC.如下图(2)所示:
设路线1的长度为l1,则l12=AC2=AB2+2=52+(5π)2=25+25π2
路线2:高线AB+底面直径BC.如上图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225



l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l12>l22,∴l1>l2
所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=______;
路线2:l22=(AB+BC)2=______
∵l12______l22
∴l1______l2(填>或<)
∴选择路线______(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

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科目:初中数学 来源:2010年河南省中考数学模拟试卷(02)(解析版) 题型:解答题

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设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225



l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l12>l22,∴l1>l2
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路线1:l12=AC2=______;
路线2:l22=(AB+BC)2=______
∵l12______l22
∴l1______l2(填>或<)
∴选择路线______(填1或2)较短.
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科目:初中数学 来源:2009年浙江省金华市中考五校联考数学模拟试卷(解析版) 题型:解答题

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路线2:高线AB+底面直径BC.如上图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则l22=(AB+BC)2=(5+10)2=225



l12-l22=25+25π2-225=25π2-200=25(π2-8)>0
∴l12>l22,∴l1>l2
所以要选择路线2较短.
(1)小明对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1cm,高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:
路线1:l12=AC2=______;
路线2:l22=(AB+BC)2=______
∵l12______l22
∴l1______l2(填>或<)
∴选择路线______(填1或2)较短.
(2)请你帮小明继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r,高为h时,应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

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