Question

19．如图，已知抛物线y=x²+bx+c图象经过点以A（-1，0），B（0，-3），抛物线与x轴的另一个交点为C．

（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若抛物线的对称轴上有一动点D，且△BCD为等腰三角形（CB≠CD），试求点D的坐标；
（3）若点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q也在直线BC上，且PQ=$\sqrt{2}$，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）有三种情况：分别以BC为腰和底边进行分类讨论：
①以B为圆心以BC为半径画圆交对称轴于D₁和D₂；
②以BC为底边时，作BC的中垂线交对称轴于D₃；
分别计算点D的坐标即可；
（3）先计算直线BC的解析式：y=x-3，表示P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），
分情况进行讨论：
①当0＜t＜3时，即点P在线段BC上时，如图4，
②当t＞3时，如图5，
③当t＜0时，如图6，
分别表示PM和QH的长，代入三角形面积公式计算即可．

解答 解：（1）如图1，把A（-1，0），B（0，-3）代入y=x²+bx+c中得：
$\left\{\begin{array}{l}{1-b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴这个抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；
（2）如图2，当BC=BD₁时，过D₁作D₁M⊥y轴于M，
∴D₁M=1，
由对称性得：C（3，0），
∴OC=3，
∴BD₁=BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
Rt△BMD₁中，BM=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴MO=$\sqrt{17}$-3，
∴D₁（1，$\sqrt{17}$-3）；
当BD₂=BC时，过B作BN⊥D₁D₂于N，
同理得：D₂N=$\sqrt{17}$，
∴ED₂=$\sqrt{17}$+3，
∴D₂（1，-$\sqrt{17}$-3）；
如图3，作BC的中垂线交对称轴于D₃，连接D₃B、D₃C，
∴D₃B=D₃C，
∴∠D₃BC=∠D₃CB，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBD₃=∠OCD₃，
过D₃作D₃F⊥y轴于F，
易得△D₃FB≌△D₃EC，
∴D₃E=D₃F=1，
∴D₃（1，-1）；
综上所述，点D的坐标为：（1，$\sqrt{17}$-3）或（1，-$\sqrt{17}$-3）或（1，-1）；
（3）设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（0，-3）和C（3，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=x-3，
如图4，过Q作QH⊥PM于H，
∵△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴∠EPC=∠QPH=45°，
∴△QPH是等腰直角三角形，
∵PQ=$\sqrt{2}$，
∴QH=PH=1，
∵P（t，t-3），M（t，t²-2t-3），
当0＜t＜3时，即点P在线段BC上时，如图4，
PM=t-3-（t²-2t-3）=-t²+3t，
∴S_△PQM=S=$\frac{1}{2}$PM•QH=$\frac{1}{2}$（-t²+3t）×1=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+$\frac{3}{2}$t，
当t＞3时，如图5，
QH=1，PM=t²-2t-3-（t-3）=t²-3t，
∴S_△PQM=S=$\frac{1}{2}$PM•QH=$\frac{1}{2}$（t²-3t）×1=$\frac{1}{2}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}$t，
当t＜0时，如图6，
QH=1，PM=t²-2t-3+（-t+3）=t²-3t，
∴S_△PQM=S=$\frac{1}{2}$PM•QH=$\frac{1}{2}$（t²-3t）×1=$\frac{1}{2}{t}^{2}$-$\frac{3}{2}$t；
综上所述，S与t之间的函数关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t（0＜t＜3）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{3}{2}t（t＜0或t＞3）}\end{array}\right.$．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、等腰三角形与等腰直角三角形的判定和性质，本题的2、3问采用了分类讨论的思想解决问题，此类问题容易丢解，要考虑完全，是一道不错的二次函数压轴题．