如图所示.平面直角坐标系中.抛物线y=ax2+bx+c经过A．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.过点D作DE⊥x轴.垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点.点F在y轴负半轴上.且F．(1)求抛物线的解析式.并直接写出四边形OADE的形状,(2)当点P.Q从C.F两点同时出发.均以每秒1个长度单位的速度沿CB.FA方向运动.点P运动到O时P.Q两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2010•抚顺）如图所示，平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）．过点A作AD∥x轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．点M是四边形OADE的对角线的交点，点F在y轴负半轴上，且F（0，-2）．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出四边形OADE的形状；
（2）当点P、Q从C、F两点同时出发，均以每秒1个长度单位的速度沿CB、FA方向运动，点P运动到O时P、Q两点同时停止运动．设运动的时间为t秒，在运动过程中，以P、Q、O、M四点为顶点的四边形的面积为S，求出S与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在抛物线上是否存在点N，使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形？若存在，直接写出点N的坐标；不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+c经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三点，把三点坐标代入抛物线表达式中，联立方程解出a、b、c．
（2）过M作MN⊥OE于N，则MN=2，由题意可知CP=FQ=t，当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，列出S与t的关系式，当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可证三角形全等，进而计算出三角形面积．
（3）若B、C、F、N为顶点的四边形是梯形，则四边形有两边平行，设出N点的坐标，分类讨论两边平行时N点坐标满足的条件，进而求出N点坐标．
解答：解：（1）∵抛物线经过A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，

，
解得a=-

，b=

，c=4．
∴抛物线的解析式为y=-

x²+

x+4．
四边形OADE为正方形．

（2）连接MQ．
根据题意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，

∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵运动的时间为t，
∴CP=FQ=t，
过M作MN⊥OE于N，则MN=2，
当0≤t＜2时，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S_△OPQ+S_△OPM=

（6-t）×2+

（6-t）（2-t）=

（6-t）（4-t），
∴S=

t²-5t+12．
当t=2时，Q与O重合，点M、O、P、Q不能构成四边形，
当2＜t＜6时，连接MO，ME则MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，FO=CE=2，

∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四边形OPMQ的面积S=S_△MOE=

×4×2=4，
综上所述，当0≤t＜2时，S=

t²-5t+12；当2＜t＜6时，S=4．

（3）分三种情况：
①以BF为底边时，经过点C作BF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（1，5）；
②以CF为底边时，经过点B作CF的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（5，

）；
③以BC为底边时，经过点F作BC的平行线，与抛物线交于点N的坐标为（2+

，-2）或（2-

，-2）．
故在抛物线上存在点N₁（1，5），N₂（5，

），N₃（2+

，-2），N₄（2-

，-2），
使以B、C、F、N为顶点的四边形是梯形．
点评：本题是二次函数的综合题，考查的知识点也很多，要求会求抛物线的表达式，会运用分别类讨论思想，此题有一定的难度，做题时不能粗心大意．

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