Question

21、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过圆心O作OD⊥AC，D为垂足，E是BC上一点，G是DE的中点，OG的延长线交BC于F．
（1）图中线段OD，BC所在直线有怎样的位置关系？写出你的结论，并给出证明过程；
（2）猜想线段BE，EF，FC三者之间有怎样的数量关系？写出你的结论，并给出证明过程．

Answer 1

分析：（1）因为AB是直径，所以有∠ACB=90°，而OD⊥AC，又可得到∠ADO=90°，联合起来，可得∠ACB=∠ADO，因而OD∥BC；
（2）由（1）知，OD∥BC，又O是AB中点，故D是AC中点，那么OD是△ABC的中位线，因而BC=2OD，还能得知△OGD≌△FGE（DG=EG），那么就有BC=2EF，而BC=BE+EF+CF，所以EF=BE+CF．

解答：解：（1）结论：OD∥BC，
证明：∵AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，
∴∠ACB=90．
即BC⊥AC．
∵OD⊥AC，
∴OD∥BC．

（2）结论：EF=BE+FC，
证明：∵OD⊥AC，
∴AD=DC．
∵O为AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线．
∴BC=2OD．
∵DG=EG，∠GOD=∠GFE，∠ODG=∠FEG，
∴△ODG≌△FEG．
∴OD=EF．
∴BE+EF+FC=BC=2OD=2EF．
∴EF=BE+FC．

点评：本题利用了平行线的判定（两同位角相等，两直线平行），以及三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、圆中直径所对的角是直角等知识．