Question

16．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连接CE交AD与F，连接BD交CE于点G，连接BE，下列结论：①BD=CE；②∠CGD=90°；③S_△ABE=S_△ACD；④四边形ACDE是平行四边形；⑤CD•AE=EF•CG．正确的有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 根据等腰直角三角形的性质可得AB=AC，AD=AE，然后求出∠BAD=∠CAE，再利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BD，判断①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠ACE，从而求出∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，再求出∠BGC=90°，从而得到BD⊥CE，判断②正确；过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，过B作BN⊥AE交EA的延长线于N，通过全等三角形得到BN=CM，
于是得到S_△ABE=S_△ACD；判断③正确；只有∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，则∠ADC=∠DAE，即AE∥CD时，四边形ACDE是平行四边形；无法说明AE∥CD，故④错误；根据已知条件无法判断△CDG与△AEF相似，于是得到CD•AE=EF•CG不一定成立，故⑤错误．

解答 解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，故①正确；
∠ABD=∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°-（∠BCG+∠CBG）=180°-90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴∠CGD=90°，故②正确；
过C作CM⊥AD交AD的延长线于M，过B作BN⊥AE交EA的延长线于N，
∴∠M=∠N=90°，∠NAD=90°，
∴∠BAN=∠CAM，
在△ABN与△ACM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠N=∠M}\\{∠BAN=∠CAM}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ACM，
∴BN=CM，
∵AD=AE，
∴S_△ABE=S_△ACD；
只有∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，则∠ADC=∠DAE，即AE∥CD时，四边形ACDE是平行四边形；
无法说明AE∥CD，故④错误；
∵无法说明AE∥CD，
∴∠DCG≠∠AEF，
则△CDG与△AEF无法判断相似，
∴CD•AE=EF•CG不一定成立，故⑤错误．
故选B，

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解决③的关键．