Question

11．如图①所示，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．
（1）求证：△BCP≌△DCP；
（2）求证：DP⊥PE；
（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②所示），若∠ABO=58°，则∠DPB=58度．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的四条边都相等可得BC=DC，对角线平分一组对角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠CBP=∠CDP，根据等边对等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，从而得证；
（3）根据（2）的结论解答即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∠ABC=90°，
∵在△BCP和△DCP中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=DC}&{\;}\\{∠BCP=∠DCP}&{\;}\\{PC=PC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCP≌△DCP（SAS）；
（2）证明：如图所示：
由（1）知，△BCP≌△DCP，
∴∠CBP=∠CDP，
∵PE=PB，
∴∠CBP=∠E，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
∴∠E+∠2=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠CDP=90°，
∴∠DPE=90°，
∴DP⊥PE；
（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，
∵∠ABC=58°，
∴∠DPE=58°．
故答案为：58．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，等边对等角的性质，熟记正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．