Question

【题目】如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．

（1）求二次函数与一次函数的解析式；

（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=（x﹣3）2﹣4；y=x﹣1；（2）存在，P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．

【解析】

（1）先将点A（1，0）代入y=（x﹣3）2+m求出m的值，根据点的对称性确定B点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式；

（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），根据三角形ABP面积为三角形ABC面积，由两三角形都以AB为底边，得到C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出满足题意P的坐标．

（1）将点A（1，0）代入y=（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m=0，解得：m=﹣4．

所以二次函数解析式为y=（x﹣3）2﹣4，即y=x2﹣6x+5；

当x=0时，y=9﹣4=5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x=3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y=kx+b得：，解得：．

所以一次函数解析式为y=x﹣1；

（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5）．

∵S△ABP=S△ABC，∴C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，∴，即﹣a2+7a﹣6=6或﹣a2+7a﹣6=﹣6，解得：a=3，a=4或a=0（舍去），a=7，则a2﹣6a+5=﹣4或﹣3或12，∴P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3）或（7，12）．