Question

17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O交AB于点D，E是AC上一点，且DE=CE，连接OE．
（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）求证：E为AC的中点．

Answer 1

分析 （1）连接OD，根据全等三角形的性质得到∠ODE=∠ACB=90°，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠DOE=∠COE=$\frac{1}{2}∠$COD，根据圆周角定理得到∠B=$\frac{1}{2}∠$COD，等量代换得到∠COE=∠B，推出OE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{CE}{AE}=\frac{OC}{OB}$，于是得到结论．

解答 解：（1）DE与⊙O相切，
理由：连接OD，
在△ODE与△OCE中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{DE=CE}\\{OE=OE}\end{array}\right.$，
∴△ODE≌△OCE，
∴∠ODE=∠ACB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE与⊙O相切；
（2）证明：由（1）证得△ODE≌△OCE，
∴∠DOE=∠COE=$\frac{1}{2}∠$COD，
∴∠B=$\frac{1}{2}∠$COD，
∴∠COE=∠B，
∴OE∥AB，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{OC}{OB}$，
∵OC=OB，
∴$\frac{CE}{AE}$=$\frac{OC}{OB}$=1，
∴CE=AE，
∴E为AC的中点．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，正确的作出辅助线是解题的关键．