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    7．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B在第一象限，直线y=$\frac{1}{3}$x-1与x轴、y轴、边AB分别交于点E，点D，点F，将△AEF沿直线EF折叠，点A恰好落在BC边的点G位置上，线段AF，BF的长是一元二次方程x2-9x+20=0的两根（AF＞BF）．
    （1）求点E，点F的坐标；
    （2）求直线EG的解析式；
    （3）如果点N在直线EG上，那么在直线EF上存在一点M，使以点O，点E，点M，点N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M，点N的坐标；若不存在，请说明理由．

    分析 （1）由直线y=$\frac{1}{3}$x-1，令y=0，解方程即可求得E的坐标，根据线段AF，BF的长是一元二次方程x2-9x+20=0的两根（AF＞BF）即可求得AF的长，从而求得F的坐标；
    （2）根据勾股定理求得BG的长，求得G的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线EG的解析式；
    （3）根据平行四边形的性质得出M、N的纵坐标相等，设M、N的纵坐标为n，则n=$\frac{1}{3}$x-1，n=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$，求得M、N的横坐标，然后根据|xM-xN|=OE=3，即可求得n的值，进而就可求得M、N的坐标．

    解答 解（1）∵直线y=$\frac{1}{3}$x-1与x轴交于点E，
    ∴令y=0，则$\frac{1}{3}$x-1=0，解得x=3，
    ∴E（3，0），
    ∵线段AF，BF的长是一元二次方程x2-9x+20=0的两根（AF＞BF），
    ∴AF=5，BF=4，
    ∴F点的纵坐标为5，
    把y=5代入y=$\frac{1}{3}$x-1得，5=$\frac{1}{3}$x-1，解得x=18，
    ∴F（18，5）；
    （2）∵GF=AF=5，BF=4，
    ∴BG=$\sqrt{G{F}^{2}-B{F}^{2}}$=3，
    ∴CG=8-3=15，
    ∵AB=AF+BF=9，
    ∴G（15，9），
    设直线EG的解析式为y=kx+b，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{15k+b=9}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
    ∴线EG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$；
    （3）存在，
    理由：∵以点O，点E，点M，点N为顶点的四边形为平行四边形，如图，
    ∴M、N的纵坐标相等，设M、N的纵坐标为n，则n=$\frac{1}{3}$x-1，n=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$，
    解得xM=3n+3，xN=$\frac{4n+9}{3}$，
    根据题意|xM-xN|=OE=3，
    ∴xM-xN=±3，
    当xM-xN=3时，3n+3-$\frac{4n+9}{3}$=3，解得n=$\frac{9}{5}$，
    当xM-xN=-3时，3n+3-$\frac{4n+9}{3}$=-3，解得n=-$\frac{9}{5}$，
    把n=$\frac{9}{5}$代入xM=3n+3，xN=$\frac{4n+9}{3}$，得，xM=$\frac{42}{5}$，xN=$\frac{27}{5}$，
    把n=-$\frac{9}{5}$代入xM=3n+3，xN=$\frac{4n+9}{3}$，得，xM=-$\frac{12}{5}$，xN=$\frac{3}{5}$，
    ∴点M的坐标为（$\frac{42}{5}$，$\frac{9}{5}$）或（-$\frac{12}{5}$，-$\frac{9}{5}$），点N的坐标为（$\frac{27}{5}$，$\frac{9}{5}$）或（$\frac{3}{5}$，-$\frac{9}{5}$）．

    点评 本题是一次函数的综合题，考查了解一元二次方程，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式平行四边形的性质等，正确求得F的坐标是解决本题的关键．

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    12345
    13579
    1471013
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