Question

3．已知对所有的实数x，|x|+$\sqrt{x-1}$≥m-|x-2|恒成立，则m可取得的最大值为2．

Answer 1

分析 利用绝对值三角不等式求得|x|+|x-2|≥2，结合题意可得 2≥m，从而求得m的最大值．

解答 解：根据题意得：|x|+$\sqrt{x-1}$+|x-2|≥m，
∵$\sqrt{x-1}$≥0，
∴x-1≥0，
∴x≥1，
当1≤x≤2时，|x|+|x-2|的最小值为2，
∵$\sqrt{x-1}$≥0，
∴当x=1时，|x|+$\sqrt{x-1}$+|x-2的最小值为2，
∴2≥m，
∴m可取得的最大值为2；
故答案为：2．

点评 本题主要考查有理数无理数的概念与运算、绝对值以及不等式，函数的恒成立问题；解题的关键是要注意函数的恒成立与函数的最值的相互转化，体现了转化思想在解题中的应用解题中要注意函数定义域的条件．