Question

14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，点C、D在边AB上，且∠COD=45°，设AD=x，BC=y．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当AC=$\sqrt{2}$时，求△COD的面积；
（3）当∠BOD=15°时，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据∠A=∠B，∠ADO=∠BOC，判定△AOD∽△BCO，进而得出$\frac{AO}{BC}$=$\frac{AD}{BO}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{4}$，据此得到y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）过O作OE⊥AB于E，则OE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，当AC=$\sqrt{2}$时，BC=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，据此求得CD=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，最后计算△COD的面积即可；
（3）过C作CF⊥OB，则CF∥AO，∠BCF=45°，根据∠COF=60°，∠OCF=30°，设OF=x，则CF=BF=$\sqrt{3}$x，再根据OB=4，列方程x+$\sqrt{3}$x=4，求得OF=2$\sqrt{3}$-2，最后根据CF∥AO，得出$\frac{OF}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，进而得出AC的长．

解答 解：（1）∵△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4，
∴∠A=∠B=45°，AB=4$\sqrt{2}$，
∴∠ADO=∠B+∠BOD=45°+∠BOD，
∵∠COD=45°，
∴∠BOC=∠COD+∠BOD=45°+∠BOD，
∴∠ADO=∠BOC，
∴△AOD∽△BCO，
∴$\frac{AO}{BC}$=$\frac{AD}{BO}$，即$\frac{4}{y}$=$\frac{x}{4}$，
∴xy=16，
即y=$\frac{16}{x}$，
∵点C、D在边AB上，且∠COD=45°，
∴$\frac{1}{2}$AB≤AD≤AB，
∴2$\sqrt{2}$≤x≤4$\sqrt{2}$；

（2）如图所示，过O作OE⊥AB于E，则OE=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{2}$，
当AC=$\sqrt{2}$时，BC=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴y=3$\sqrt{2}$，
又∵y=$\frac{16}{x}$，
∴3$\sqrt{2}$=$\frac{16}{x}$，
解得x=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$，
∴AD=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$，
∴CD=$\frac{8}{3}\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{2}{3}\sqrt{2}$，
∴△COD的面积=$\frac{1}{2}$×CD×OE=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{3}\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=$\frac{4}{3}$；

（3）如图所示，过C作CF⊥OB，则CF∥AO，∠BCF=45°，
∵∠BOD=15°，∠COD=45°，
∴∠COF=60°，∠OCF=30°，
设OF=x，则CF=BF=$\sqrt{3}$x，
∵OF+FB=4，
∴x+$\sqrt{3}$x=4，
解得x=2$\sqrt{3}$-2，
即OF=2$\sqrt{3}$-2，
∵CF∥AO，
∴$\frac{OF}{OB}$=$\frac{AC}{AB}$，即$\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$=$\frac{AC}{4\sqrt{2}}$，
解得AC=2$\sqrt{6}$-2$\sqrt{2}$．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线，根据等腰直角三角形的性质以及平行线分线段成比例定理进行计算求解．