Question

如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），二次函数y=x²的图象记为抛物线l₁．
（1）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的一个抛物线的函数表达式：

 

（任写一个即可）；
（2）平移抛物线l₁，使平移后的抛物线过A，B两点，记为抛物线l₂，如图2，求抛物线l₂的函数表达式；
（3）设抛物线l₂的顶点为C，K为y轴上一点．若S_△ABK=S_△ABC，求点K的坐标；
（4）请在图3上用尺规作图的方式探究抛物线l₂上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题答案不唯一，符合条件均可．
（2）可设出平移后的二次函数的解析式，然后将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得l₂的函数表达式．
（3）本题可通过求三角形的面积来求K的坐标．由于三角形ABC的面积无法直接求出，因此可其转换成其他规则图形面积的和差来解．分别过A、B、C三点作x轴的垂线，因此△ABC的面积可用三个直角梯形的面积差来求出．可先根据直线AB求出其与y轴的交点G的坐标，设出K点坐标后即可表示出KG的长，然后可根据△KBG和△KAG的面积差表示出△KAB的面积，然后根据得出的△ABC的面积即可求出K的坐标．
（4）应有三点：①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l₂于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平分线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点．

解答：解：（1）有多种答案，符合条件即可．
例如y=x²+1，y=x²+x，y=（x-1）²+2或y=x²-2x+3，
y=（x+

2

-1）²，y=（x-1-

2

）²．

（2）设抛物线l₂的函数表达式为y=x²+bx+c，
∵点A（1，2），B（3，1）在抛物线l₂上，
∴

1+b+c=2 9+3b+c=1

，
解得

b=- 9 2 c= 11 2

，
∴抛物线l₂的函数表达式为y=x²-

9

2

x+

11

2

．

（3）y=x²-

9

2

x+

11

2

=（x-

9

4

）²+

7

16

，
∴C点的坐标为（

9

4

，

7

16

）．
过A，B，C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D，E，F，
则AD=2，CF=

7

16

，BE=1，DE=2，DF=

5

4

，EF=

3

4

．
∴S_△ABC=S_梯形ADEB-S_梯形ADFC-S_梯形CFEB=

1

2

（2+1）×2-

1

2

（2+

7

16

）×

5

4

-

1

2

（1+

7

16

）×

3

4

=

15

16

．
延长BA交y轴于点G，设直线AB的函数表达式为y=mx+n，
∵点A（1，2），B（3，1）在直线AB上，
∴

2=m+n 1=3m+n

，
解得

m=- 1 2 n= 5 2

，
∴直线AB的函数表达式为y=-

1

2

x+

5

2

．
∴G点的坐标为（0，

5

2

）．
设K点坐标为（0，h），分两种情况：
若K点位于G点的上方，则KG=h-

5

2

．
连接AK，BK．
S_△ABK=S_△BKG-S_△AKG=

1

2

×3×（h-

5

2

）-

1

2

×1×（h-

5

2

）=h-

5

2

．
∵S_△ABK=S_△ABC=

15

16

，
∴h-

5

2

=

15

16

，
解得h=

55

16

．
∴K点的坐标为（0，

55

16

）．
若K点位于G点的下方，则KG=

5

2

-h．
同理可得，h=

25

16

．
∴K点的坐标为（0，

25

16

）．

（4）作图痕迹如图所示．
①以A为圆心，AB为半径作弧可交抛物线l₂于一点；②以B为圆心，AB为半径坐标交抛物线于另一点；③作线段AB的垂直平分线可交抛物线于两点，因此共有4个符合条件的P点．

点评：本题考查了二次函数图象的平移、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、等腰三角形的构成情况等知识．综合性强，难度较大．不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差进行求解．