Question

26、如图1，直线AC∥BD，直线AC、BD及直线AB把平面分成（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分．点P是其中的一个动点，连接PA、PB，观察∠APB、∠PAC、∠PBD三个角．规定：直线AC、BD、AB上的各点不属于（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）六个部分中的任何一个部分．
当动点P落在第（1）部分时，可得：∠APB=∠PAC+∠PBD，请阅读下面的解答过程，并在相应的括号内填注理由
解：过点P作EF∥AC，如图2
因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD

（平行线的传递性）

．
所以∠BPE=∠PBD

（两直线平行，内错角相等）

．
同理∠APE=∠PAC．
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD

（等量代换）

，
即∠APB=∠PAC+∠PBD．
（1）当动点P落在第（2）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出∠APB、∠PAC、∠PBD之间满足的关系式，不必说明理由．
（2）当动点P在第（3）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．
（3）当动点P在第（4）部分时，∠APB、∠PAC、∠PBD之间的关系是怎样的？请直接写出相应的结论．

Answer 1

分析：根据平行线的传递性、平行线的性质填空；
（1）过点P作EF∥AC，如图3，根据平行线的性质、传递性和等式的基本性质可得出∠APB+∠PAC+∠PBD=360°；
（2）过点P作EF∥AC，如图4，根据平行线的性质、传递性可得出∠PAC=∠APB+∠PBD；
（3）过点P作EF∥AC，如图5，根据平行线的性质、传递性可得出∠PAC+∠APB=∠PBD．

解答：解：过点P作EF∥AC，如图2
因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行线的传递性）．
所以∠BPE=∠PBD （两直线平行，内错角相等）．
同理∠APE=∠PAC．
因此∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD（等量代换），
即∠APB=∠PAC+∠PBD．
（1）过点P作EF∥AC，如图3，

因为AC∥BD（已知），EF∥AC（所作），
所以EF∥BD （平行线的传递性）．
所以∠BPF+∠PBD=180° （两直线平行，同旁内角互补）．
同理∠APF+∠PAC=180° （两直线平行，同旁内角互补）．
因此∠APF+∠BPF+∠PAC+∠PBD=360°（等式的基本性质），
即∠APB+∠PAC+∠PBD=360°．
（2）过点P作EF∥AC，如图4，

∠PAC=∠APB+∠PBD；
（3）过点P作EF∥AC，如图5，

∠PAC+∠APB=∠PBD．
故答案为：平行线的传递性，两直线平行，内错角相等，等量代换）．

点评：本题考查了平行线的性质以及数形结合思想的应用，是基础知识比较简单．