Question

如图，正方形ABCD内一点P，使得PA：PB：PC=1：2：3，请利用旋转知识，证明∠APB=135°．（提示：将△ABP绕点B顺时针旋转90°至△BCP′，连接PP′）．

Answer 1

证明：如图，画出旋转后的图形，并连接PP′．
设PA=x，PB=2x，PC=3x，
∵将△APB绕B点顺时针旋转90°，得△BP′C，
∴△BP′C≌△BPA，∠APB=∠BP′C，BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，
∴△BP′P为等腰直角三角形，
∴∠BP′P=45°，
∵PB=BP′=2x，
∴PP′==2 x，
∵PC=3x，CP′=PA=x，
∴PC²=PP′²+CP′²，
∴∠PP′C=90°，
∴∠APB=∠BP′C=∠BP′P+∠PP′C=45°+90°=135°．
分析：先画出旋转后的图形，然后连接PP′，构造两个直角三角形：Rt△PBP′和Rt△PCP′，然后利用勾股定理逆定理解答即可．
点评：此题考查了旋转的性质及勾股定理的逆定理，难度适中，将△APB绕B点顺时针旋转90°并连接PP′是解题的关键．