Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示BF及△BEF
的面积（提示：作AK⊥BC于K，作FG⊥BC于G）；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，根据△FBG∽△ABK对应边成比例即可求解；
（2）根据四边形的面积即可求出x的值．
解答：解：（1）梯形的周长为4+2×5+10=24，
由题意：BF+EB=12，即BF+x=12，
∴BF=12-x，作AK⊥BC于K，FG⊥BC于G，
则BK=3，AK=4，
又∵△FBG∽△ABK，
∴=，即=，
∴FG=（12-x），
∴△BEF的面积=BE•FG=（-x²+12x）；

（2）又∵S_{四边形ABCD}=（10+4）×4=28，则（-x²+12x）=14，
解得：x=5或x=7，
∵BF=12-x≤5，
∴x≥7，
∴x=7，
即存在线段EF将等腰梯形的周长和面积同时平分．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，难度适中，关键是巧妙地作出辅助线．