Question

10．已知，抛物线的图象过A（-3，0），B（-1，0），且与y轴交于（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点C在抛物线对称轴上，点D在抛物线上，是否存在以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求出C点的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据给定三点的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）假设存在，分线段AB为对角线、线段AB为边且点D在点C的左侧和线段AB为边且点D在点C的右侧三种情况考虑，①当线段AB为对角线时，则点D为抛物线的顶点，根据菱形的性质即可找出点C的坐标；②当线段AB为边，且点D在点C的左侧时，由CD=AB可找出点D的坐标，利用两点间的距离公式可求出AD≠AB，此时以A、B、C、D四点为顶点的平行四边形不是菱形；③当线段AB为边，且点D在点C的右侧时，同②可找出此时以A、B、C、D四点为顶点的平行四边形不是菱形．综上即可得出结论．

解答 解：（1）设抛物线的表达式为y=ax²+bx+c，
将点A（-3，0）、B（-1，0）、（0，3）代入y=ax²+bx+c，
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a-b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴抛物线的表达式为y=x²+4x+3．

（2）假设存在，分三种情况考虑：
①当线段AB为对角线时，则点D为抛物线的顶点，如图1所示．
∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴点D的坐标为（-2，-1）．
∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，
∴点C的坐标为（-2，1）；
②当线段AB为边，且点D在点C的左侧时，如图2所示．
∵A（-3，0），B（-1，0），抛物线对称轴为x=-2，CD=AB，
∴点D的横坐标为-4，
∴D（-4，3），此时AD=$\sqrt{[-3-（-4{）]}^{2}+（0-3）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴AD≠AB，
即此时以A、B、C、D四点为顶点的平行四边形不是菱形；
③当线段AB为边，且点D在点C的右侧时，如图3所示．
同理可求出BC=$\sqrt{10}$≠AB，
即此时以A、B、C、D四点为顶点的平行四边形不是菱形．
综上所述：存在以A、B、C、D四点为顶点的四边形为菱形，点C的坐标为（-2，1）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、菱形的判定与性质以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出抛物线的表达式；（2）分线段AB为对角线、线段AB为边且点D在点C的左侧和线段AB为边且点D在点C的右侧三种情况考虑．