Question

4．如图，四边形ABCD是边长为8的正方形，点E是CD上的一个动点，EF∥BC分别交AC，AB于点G，F，M，N分别是AG，BE的中点．
（1）判断四边形BCEF的形状，并给出证明．
（2）当CE=6时，求MN的长．

Answer 1

分析 （1）利用矩形的判定方法，三个角是直角的四边形是矩形，得出四边形BCEF的形状；
（2）利用正方形的性质得出△AFG是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出MN=$\frac{1}{2}$FC即可得出答案．

解答 解：（1）四边形BCEF是矩形．
理由：∵四边形ABCD是边长为8的正方形，
∴∠ABC=∠BCE=90°，
又∵EF∥BC，
∴∠FEC=∠EFB=90°，
∴四边形BCEF是矩形；

（2）连接FM，FC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，
∴可得△AFG是等腰直角三角形，
∵M是AG的中点，
∴AM=MG，
则FM⊥AG，
即△FMC是直角三角形，
又∵N是FC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$FC，
∵CE=6，BC=8，
∴BE=FC=10，
∴MN=$\frac{1}{2}$FC=5．

点评 此题主要考查了四边形综合、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质、正方形的性质等知识，根据题意得出△FMC是直角三角形是解题关键．