Question

如图，AB是⊙O的直径，AB=d，过A作⊙O的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连接OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于E．
（1）求证：△CDE∽△CAD；
（2）求AE的长．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连AD，根据由两对角相等的三角形相似即可证明△CDE∽△CAD，
（2）由（1）中的三角形相似得出对应边成比例，即

CD

CE

=

CA

AD

，再由△ADE∽△BDA，得出

AE

DE

=

AB

AD

进而得出AE=CD，得出CD是⊙ADE的切线，再由切线的性质代入求解即可．

解答：证明（1）如图，连接AD，
∵OB=OD，
∴∠2=∠3，
又∵∠3=∠4，且∠1=∠2，
则∠1=∠2=∠3=∠4，
∴△CDE∽△CAD；
（2）∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CE

=

CA

AD

①，
又△ADE∽△BDA，
∴

AE

DE

=

AB

AD

②，
由①②及AB=AC得AE=CD．
∵△CDE∽△CAD，
∴

CD

CA

=

CE

CD

，
令AE=x，则CE=d-x，于是有x²=d（d-x），
即x²+dx-d²=0，
解此方程并取正根，得AE=x=

5 -1

2

d．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质以及圆周角和切线的性质等问题，对于圆形与三角形结合的问题，能够熟练掌握．