Question

抛物线y=mx²-4m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，已知OC=2OA．
（1）求抛物线解析式及A、B两点坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△PAC内心在x轴上？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）抛物线y=mx²-4m（m＞0）的对称轴是y轴，可得点C就是顶点，再由OC=2OA，即可得到点A、C的坐标，把A点坐标代入抛物线解析式即可求出m的值，进而求出抛物线解析式及A、B两点的坐标；
（2）根据三角形的内心是角平分线的交点，该内心又在x轴上，故直线PA与AC关于x轴对称，从而得出P点坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=mx²-4m（m＞0）的对称轴是y轴，
∴点C就是顶点，A、B两点关于y轴对称，
∴点C的坐标为（0，-4m）．
∵OC=2OA，
∴A点坐标为（-2m，0），B点坐标为（2m，0）．
把A点坐标代入抛物线解析式，可得
m=1或m=-1（由m＞0，故舍去），
∴m=1，
∴抛物线的解析式为：y=x²-4，
∴A、B两点的坐标为A（-2，0），B（2，0）；

（2）在抛物线上存在点P，使△PAC内心在x轴上，理由如下：
∵三角形的内心是角平分线的交点，该内心又在x轴上，
∴直线PA与AC关于x轴对称．
设直线AC的解析式为y=kx+b，
∵A（-2，0），C（0，-4），
∴

-2k+b=0 b=-4

，
解得：

k=-2 b=-4

，
∴直线AC的解析式为y=-2x-4，
∴直线PA的解析式为y=2x+4．
解方程组

y=2x+4 y=x2-4

，得

x1=-2 y1=0

或

x2=4 y2=12

，
∴P点坐标为P（4，12）．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数图象的性质，点的坐标的求法，三角形内心的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．