Question

2．点A在反比例函数y=$\frac{3}{x}$的图象上，过点A作AH⊥x轴于点H，连结OA，tan∠AOH=$\frac{1}{3}$．
（1）如图，当点A在第一象限时，点A的坐标为（3，1）．
（2）反比例函数图象上有一动点P，若OA平分∠PAH，则点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，4）．

Answer 1

分析 （1）设A（3m，m），根据反比例函数图象经过点A可得，3m•m=3，据此可得点A的坐标；
（2）分两种情况进行讨论：①作点H关于AO的对称点B，连接AB，OB，②作点O关于AH的对称点E，分别根据直线AB、AE与双曲线的交点的位置，判段点P的坐标．

解答 解：（1）∵tan∠AOH=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AH}{OH}$=$\frac{1}{3}$，
∴OH=3AH，
∴设A（3m，m），则3m•m=3，
∴m=1，
∴A（3，1），
故答案为（3，1）；

（2）分两种情况：
①如图所示，作点H关于AO的对称点B，连接AB，OB，则
AB=AH=1，BO=HO=3，∠ABO=∠AHO=90°，
过B作x轴的平行线，交HA的延长线于C，交y轴于D，
设AC=a，则CH=1+a=DO，
由△ABC∽△BOD可得，DB=3a，
∵Rt△BOD中，BD²+OD²=BO²，即（3a）²+（1+a）²=3²，
∴a=$\frac{4}{5}$，a=-1（舍去），
∴DB=$\frac{12}{5}$，DO=$\frac{9}{5}$，即B（$\frac{12}{5}$，$\frac{9}{5}$），
又∵A（3，1），
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+5，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+5}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线AB与双曲线交于（$\frac{3}{4}$，4）和（3，1）两点；
②如图所示，作点O关于AH的对称点E，则E（6，0），
又∵A（3，1），
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x+2，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x+2}\\{y=\frac{3}{x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴直线AE与双曲线交于（3，1）一点，
综上所述，点P的坐标为（$\frac{3}{4}$，4）．
故答案为：（$\frac{3}{4}$，4）．

点评 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．