Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A（-1，0），B（5，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；

（3）若点K为抛物线的顶点，点M（4，m）是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上是否存在点P，Q，使四边形PQKM的周长最小，若没有，说明理由；若有，求出点P，Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-4x-5；（2）H（，），面积最大为；（3）存在，P（,0），Q（0，-）．

【解析】

（1）根据待定系数法直接求出抛物线解析式即可；

（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），求出直线BC的解析式，即可表示出点F的坐标，进而求出四边形CHEF的面积与t的函数关系式，利用二次函数求最值即可；

（3）利用对称性找出点P，Q的位置，进而求出P，Q的坐标．

解：（1）∵点A（﹣1，0），B（5，0）在抛物线y＝ax2+bx﹣5上，

∴，

解得，

∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x﹣5，

（2）设H（t，t2﹣4t﹣5），

∵CE∥x轴，

∴点E的纵坐标为﹣5，

∵E在抛物线上，

∴x2﹣4x﹣5＝﹣5，

∴x＝0（舍）或x＝4，

∴E（4，﹣5），

∴CE＝4，

设直线BC的解析式为y=kx＋c

将B（5，0），C（0，﹣5）代入，得

解得：

∴直线BC的解析式为y＝x﹣5，

∴F（t，t﹣5），

∴HF＝t﹣5﹣（t2﹣4t﹣5）＝﹣（t﹣）2+，

∵CE∥x轴，HF∥y轴，

∴CE⊥HF，

∴S四边形CHEF＝CEHF＝﹣2（t﹣）2+，

∵-2＜0

∴当t=时，S四边形CHEF最大，最大值为

∴H（，﹣）；

（3）如图2，四边形PQKM的周长=PM＋PQ＋QK＋KM（其中KM为定值）

∵K为抛物线的顶点，y=x2-4x-5=（x-2）2-9

∴K（2，﹣9），

∴K关于y轴的对称点K′（﹣2，﹣9），

∵M（4，m）在抛物线上，

∴m=16－16－5=-5

∴M（4，﹣5），

∴点M关于x轴的对称点M′（4，5），

连接K′M′，分别交x轴于点P，交y轴于点Q

∴此时PM=PM′，QK=QK′

∴此时四边形PQKM的周长=PM＋PQ＋QK＋KM= PM′＋PQ ＋QK′＋KM=M′K′＋KM，根据两点之间线段最短，此时四边形PQKM的周长最小

设直线K′M′的解析式为y＝ex＋d

将K′、M′的坐标代入，得

解得：

∴直线K′M′的解析式为y＝，

当y=0时，解得x=；当x=0时，解得y=

∴P（，0），Q（0，﹣）．