Question

已知抛物线y=-x²+ax+b经过点A（1，0），B（0，-4）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？
（3）若抛物线与x轴的另一个交点为C，求△ABC的面积．

Answer 1

解：（1）∵y=-x²+ax+b经过点A（1，0），B（0，-4），
∴，
解之得：a=5，b=-4，
∴y=-x²+5x-4；

（2）y=-x²+5x-4=-（x²-5x+4）=-（x-1）（x-4），
∴抛物线与x轴的交点为（1，0），（4，0），
∴抛物线的对称轴为x=，
∴x＜，y随x的增大而增大；

（3）根据（2）得C的坐标为（4，0），
∴AC=4-1=3，
而B（0，-4），
∴S_△=×3×4=6．
分析：（1）直接把A（1，0），B（0，-4）代入y=-x²+ax+b中即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）把（1）中的解析式利用配方法即可求出对称轴，由此即可得到当x 取何值时，y随x的增大而增大；
（3）首先根据解析式可以求出C的坐标，然后可以求出线段AB的长度，利用三角形的面积公式即可求解．
点评：此题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质和利用待定系数法确定函数的解析式，也利用了数形结合的数学思想，综合性比较强，对于学生的要求比较高．