Question

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，∠EAF=45°，∠BAF=15°
（1）求证：DE-EF=BF；
（2）若AD=

3

，求△AEF的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）在DE上取一点G，使DG=BF，根据正方形的性质求出∠D=∠ABC=∠ABF=90°，然后利用“边角边”证明△ABF和△ADG全等，根据全等三角形对应角相等可得，∠DAG=∠BAF=15°，全等三角形对应边相等可得AG=AF，然后求出∠BAE的度数以及∠GAE的度数，根据度数求出∠GAE=∠FAE=45°，再利用“边角边”证明△AFE和△AGE全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GE，然后根据图形边的关系进行等量代换即可得解；
（2）根据两直线平行，内错角相等求出∠AED=∠BAE=30°，然后求出DE的长，再求出CE的长，根据全等三角形对应角相等求出∠AEF=∠AED=30°，从而求出∠CFE=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出EF的长，即GE的长，再根据三角形的面积公式列式计算求出△AGE的面积，也就是△AEF的面积．

解答：（1）证明：在DE上取一点G，使DG=BF，
在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠ABF=90°，
在△ABF和△ADG中，

DG=BF ∠D=∠ABF=90° AD=AB

，
∴△ABF≌△ADG（SAS），
∴∠DAG=∠BAF=15°，AG=AF，
∵∠EAF=45°，∠BAF=15°，
∴∠BAE=∠EAF-∠BAF=45°-15°=30°，
∴∠GAE=90°-15°-30°=45°，
∴∠GAE=∠FAE=45°，
在△AFE和△AGE中，

AG=AF ∠GAE=∠FAE=45° AE=AE

，
∴△AFE≌△AGE（SAS），
∴EF=GE，
∴EF+BF=EG+DG=DE，
∴DE-EF=BF；

（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AED=∠BAE=30°，
∴DE=

3

AD=

3

×

3

=3，
∴CE=DE-CD=3-

3

，
由（1）△AFE≌△AGE可得∴∠AEF=∠AED=30°，
∴∠CFE=90°-∠AEF-∠AED=90°-30°-30°=30°，
∴GE=EF=2CE=2（3-

3

）=6-2

3

，
∴S_△AGE=

1

2

（6-2

3

）×

3

=3

3

-3，
∴S_△AEF=S_△AGE=3

3

-3．

点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理，题目比较复杂，需要利用二次全等进行证明，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．