【题目】如图1,将一个量角器与一张等边三角形(△ABC)纸片放置成轴对称图形,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,此时,测得顶点C到量角器最高点的距离CE=2cm,将量角器沿DC方向平移1cm,半圆(量角器)恰与△ABC的边AC,BC相切,如图2,则AB的长为__________cm.
【答案】
【解析】
如图,设图(2)中半圆的圆心为O,与BC的切点为M,连接OM,根据切线的性质可以得到∠OMC=90°,而根据已知条件可以得到∠DCB=30°,设AB为2xcm,根据等边三角形得到CDxcm,而CE=2cm,又将量角器沿DC方向平移1cm,由此得到半圆的半径为OM=(
x﹣2)cm,OC=(
x﹣1)cm,然后在Rt△OCM中利用三角函数可以列出关于x的方程,解方程即可求解.
如图,设图(2)中半圆的圆心为O,与BC的切点为M,连接OM,则OM⊥MC,∴∠OMC=90°,依题意得:∠DCB=30°,设AB为2xcm.
∵△ABC是等边三角形,∴CDxcm,而CE=2cm,又将量角器沿DC方向平移1cm,∴半圆的半径为OM=(
x﹣2)cm,OC=(
x﹣1)cm,∴sin∠DCB
,∴
,∴x
,∴AB=2x=2
(cm).
故答案为:2.
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【题目】如图,△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得,且AB⊥BC,BE=CE,连接DE.
(1)求证:△BDE≌△BCE;
(2)试判断四边形ABED的形状,并说明理由.
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【题目】已知在Rt△ABC中,∠BAC=90°,CD为∠ACB的平分线,将∠ACB沿CD所在的直线对折,使点B落在点B′处,连结AB',BB',延长CD交BB'于点E,设∠ABC=2α(0°<α<45°).
(1)如图1,若AB=AC,求证:CD=2BE;
(2)如图2,若AB≠AC,试求CD与BE的数量关系(用含α的式子表示);
(3)如图3,将(2)中的线段BC绕点C逆时针旋转角(α+45°),得到线段FC,连结EF交BC于点O,设△COE的面积为S1,△COF的面积为S2,求(用含α的式子表示).
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=9,cosB=,把△ABC绕着点C旋转,使点B与AB边上的点D重合,点A落在点E,则点A、E之间的距离为 .
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm.点P从B出发沿BA 向A运动,速度为每秒1cm,点E是点B以P为对称中心的对称点.点P运动的同时,点Q从A出发沿AC向C运动,速度为每秒2cm .当点Q到达顶点C时,P,Q同时停止运动.设P, Q两点运动时间为t秒.
(1)当t为何值时,PQ∥BC ?
(2)设四边形PQCB的面积为y,求y关于t的函数解析式;
(3)四边形PQCB的面积与△APQ面积比能为3:2吗?若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;
(4)当t为何值时,△AEQ为等腰三角形?
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【题目】如图,AB,AC是⊙O的两条切线,B,C为切点,连接CO并延长交AB于点D,交⊙O于点E,连接BE,连接AO.
(1)求证:AO∥BE;
(2)若DE=2,tan∠BEO=,求DO的长.
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【题目】如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.
(1)求证:AF=DC;
(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图:一次函数 的图象与坐标轴交于A、B两点,点P是函数
(0<x<4)图象上任意一点,过点P作PM⊥y轴于点M,连接OP.
(1)当AP为何值时,△OPM的面积最大?并求出最大值;
(2)当△BOP为等腰三角形时,试确定点P的坐标.
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【题目】如图,AB,AC是⊙O的两条切线,B,C为切点,连接CO并延长交AB于点D,交⊙O于点E,连接BE,连接AO.
(1)求证:AO∥BE;
(2)若DE=2,tan∠BEO=,求DO的长.
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