Question

12．如图1，AD是△ABC的中线，过点D的直线交AB边于点M，交AC边的延长线于点N．
①若AM=$\frac{3}{4}$AB，求$\frac{NC}{NA}$的值．
分析：在图1中，作CF∥AB交MN于点F，则BM与CF的数量关系是相等，由AM=$\frac{3}{4}$AB，可得BM与AM的数量关系是BM=$\frac{1}{3}$AM，所以$\frac{NC}{NA}$的值是$\frac{1}{3}$．
②若AM=mAB（m＞0），求$\frac{NC}{NA}$的值（用含m的代数式表示）
（2）如图2，AD是△ABC的中线，G是AD上任意一点（点G不与A、D重合），过点G的直线交边AB于M′，交AC边的延长线于N′，若AG=aAD，AM′=bAB（a＞0，b＞0），请直接写出$\frac{N′C}{N′A}$的值（用含a、b的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）①作CF∥AB交MN于点F，证明△BDM∽△CDF，根据相似三角形的性质和BD=CD，证明BM=CF，根据已知和对应边成比例求出BM与AM的数量关系和$\frac{NC}{NA}$的值；
②证明△BDM≌△CDF，得到BM=CF，根据AM=mAB，得到BM=AB-AM=（1-m）AB，求出$\frac{NC}{NA}$的值；
（2）过点D作MN∥M′N′交AB于M，交AC的延长线于N，证明m=$\frac{b}{a}$，AN′=aAN，N′C=$\frac{ma-2m+1}{m}$AN，得到答案．

解答 解：（1）①如图1中，作CF∥AB交MN于点F，
则△BDM∽△CDF，
∴$\frac{BM}{CF}$=$\frac{BD}{CD}$，又BD=CD，
∴BM=CF；
∵AM=$\frac{3}{4}$AB，
∴BM=$\frac{1}{3}$AM；
∵CF∥AB，
∴$\frac{NC}{NA}$=$\frac{CF}{AM}$=$\frac{1}{3}$；
②∵CF∥AB，
∴△CFN∽△AMN，
∴$\frac{NC}{NA}$=$\frac{CF}{AM}$，
又∵△BDM∽△CDF，BD=CD，
∴△BDM≌△CDF，
∴BM=CF，
∵AM=mAB，
∴BM=AB-AM=（1-m）AB，
∴$\frac{NC}{NA}$=$\frac{CF}{AM}$=$\frac{BM}{AM}$=$\frac{（1-m）AB}{mAB}$=$\frac{1-m}{m}$；
（2）如图2，过点D作MN∥M′N′交AB于M，交AC的延长线于N，
则$\frac{AM′}{AM}$=$\frac{AG}{AD}$=$\frac{AN′}{AN}$，
∴$\frac{b}{m}$=a=$\frac{AN′}{AN}$，
即m=$\frac{b}{a}$，AN′=aAN，
由（1）得，CN=$\frac{1-m}{m}$AN，
∴AC=AN-CN=$\frac{2m-1}{m}$AN，
则N′C=AN′-AC=$\frac{ma-2m+1}{m}$AN，
∴$\frac{N′C}{N′A}$=$\frac{ma-2m+1}{m}$A，又m=$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{N′C}{N′A}$=$\frac{ab-2b+a}{ab}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质的综合运用，正确作出辅助线、灵活运用判定定理和性质定理是解题的关键．