Question

如图，A、D、B三点在同一直线上，△ADC、△BDO为等腰直角三角形，连接AO、BC．

（1）AO、BC的大小位置关系如何？说出你的看法，并证明你的结论．
（2）当△ODB绕顶点D旋转任一角度得到如图②，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形性质得出∠ADO=∠CDB=90°，AD=DC，DO=BD，根据SAS推出△ADO≌△CDB即可；
（2）根据等腰直角三角形性质得出∠ADC=∠BDO=90°，AD=DC，DO=BD，求出∠ADO=∠CDB根据SAS推出△ADO≌△CDB即可；

解答：（1）AO=BC，AO⊥BC，
证明：∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形，
∴∠ADO=∠CDB=90°，AD=DC，DO=BD，
∵在△ADO和△CDB中，

AD=DC ∠ADO=∠CDB DO=DB

，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴AO=BC，∠OAD=∠DCB，
∵∠COE=∠AOD，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠DCB+∠COE=90°，
∴∠CEO=90°，
∴AO⊥BC；


（2）解：AO=BC仍成立，
理由是：∵△ADC、△BDO为等腰直角三角形，
∴AD=DC，DO=BD，∠ADC=∠BDO=90°，
∴∠ADC+∠CDO=∠BDO+∠CDO，
∴∠ADO=∠CDB，
∵在△ADO和△CDB中，

AD=DC ∠ADO=∠CDB DO=DB

，
∴△ADO≌△CDB（SAS），
∴AO=BC．

点评：本题考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，解此题的关键是根据SAS得到△ADO≌△CDB．