Question

15．如图，平面直角坐标系中，直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与x轴交于点A，与y轴交于点D，与双曲线y=$\frac{k}{x}$在第一象限内交于点B，BC⊥x轴于点C，AB=3AD．求双曲线的解析式．

Answer 1

分析 首先求得A和D的坐标，则OA和OD的长即可求得，然后根据△ADO∽△ABC，求得BC和AC的长，则B的坐标即可求得，根据待定系数法求得反比例函数的解析式．

解答 解：∵直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与x轴交于点D，
令x=0，解得：y=$\frac{1}{2}$
∴OD=$\frac{1}{2}$．
∵直线y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{1}{2}$与x轴交于点A
∴当y=0时，x=-1．
∴AO=1．   
∵BC⊥x轴，x轴⊥y轴∴BC∥y轴．
∴△ADO∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AO}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，
∵AB=3AD，
∴AC=3BC=$\frac{3}{2}$，
∴OC=3，
∴点B的坐标为（2，$\frac{3}{2}$）．
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$过点B （2，$\frac{3}{2}$），
∴$\frac{3}{2}$=$\frac{k}{2}$．解得k=3．
∴双曲线的解析式为y=$\frac{3}{x}$．

点评 本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及相似三角形的判定与性质，正确求得B的坐标是关键．