Question

已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB=6，CD=2，则梯形ABCD的面积为

 

．

Answer 1

分析：梯形的高就是弦AB与CD之间的距离，根据垂径定理求得两弦的弦心距，当CD与AB在圆心的同侧时，梯形的高等于两弦心距的差，当CD与AB在圆心的两侧时，梯形的高等于两弦心距的和，根据梯形的面积公式即可求解．

解答：解：过O作OE⊥CD于E，交AB于F．连接OA，OC．
在直角△OCE中，CE=

1

2

CD=1，OC=4．
∴OE=

OC2-CE2

=

42-1

=

15

；
同理，在直角△AOF中，AF=

1

2

AB=3．
∴OF=

OA2-AF2

=

16-9

=

7

．
1）当CD与AB在圆心的同侧时，
则梯形的高EF=

15

-

7

．
则梯形的面积是：

1

2

（CD+AB）•EF=

1

2

×（2+6）×（

15

-

7

）=4

15

-4

7

；
2）当CD与AB在圆心的两侧时，
梯形的高EF=

15

+

7

．
则梯形的面积是：

1

2

（CD+AB）•EF=

1

2

×（2+6）×（

15

+

7

）=4

15

+4

7

．
故答案是：4

15

+4

7

或4

15

-4

7

．

点评：本题考查了垂径定理，注意到分两种情况进行讨论，求得梯形的高是关键．