Question

9．已知：如图，A、B两点坐标为（0，4），B（4，0），P为线段AB上的任一点，过P作OP的垂线与过B点的x轴的垂线交于点Q，OQ与直线AB交于点M．请探究解答下列问题：
（1）判断△OPQ的形状并证明；
（2）三条线段AP、PM、BM之间存在何种相等的数量关系？证明你的结论．
（3）当点p 在线段AB上运动时，请问：$\sqrt{2}$BP-BQ的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意得△OAB是等腰直角三角形，再证明O、P、Q、B四点共圆，得出∠OBP=∠OQP=45°，即可得出△OPQ是等腰直角三角形；
（2）以OM为对称轴，作OB的轴对称图形得OB′，连接PB′，则△OBM≌△OB′M，得出BM=B′M，∠OBM=∠OB′M=45°，再证明△AOP≌△B′OP，得出AP=B′P，∠OAP=∠OB′P=45°，证出△PB′M是直角三角形，即可得出结论；
（3）先求出直线AB的解析式为：y=-x+4，设点P的坐标为（a，4-a），由勾股定理得OP²+PQ²=OQ²，得出2[a²+（4-a）²]=4²+BQ²，解得，BQ²=（2a-4）²，当点P运动至AB的中点时，点Q与点B重合，不合题意，得出a＜2，BQ=4-2a，由$\sqrt{2}$BP-BQ=（8-2a）-（4-2a）=4，即可得出结论，定值为4．

解答 解：（1）△OPQ是等腰直角三角形；理由如下：
∵A（0，4），B（4，0），
∴OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∵OP⊥PQ，BQ⊥x轴，
∴∠OPQ=∠OBQ=90°，
∴∠OPQ+∠OBQ=180°，
∴O、P、Q、B四点共圆，
∴∠OBP=∠OQP=45°（同弧所对的圆周角相等），
∴△OPQ是等腰直角三角形；
（2）PM²=BM²+AP²，AP、PM、BM成勾股关系；理由如下：
以OM为对称轴，作OB的轴对称图形得OB′，连接PB′，如图所示：
∵OB和OB′关于OM对称，
∴△OBM≌△OB′M，
∴BM=B′M，∠OBM=∠OB′M=45°，
由（1）知∠POQ=45°，
∴∠AOP+∠BOM=45°，
又∠BOM=∠B′OM，∠B′OP+∠B′OP=45°，
∴∠AOP=∠B′OP，OA=OB′=4，OP=OP，
∴△AOP≌△B′OP，
∴AP=B′P，∠OAP=∠OB′P=45°，
∴△PB′M是直角三角形，
∴PM²=B′M²+B′P²，即PM²=BM²+AP²，
∴AP、PM、BM成勾股关系；
（3）不发生变化；理由如下：设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（0，4），B（4，0）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=-1，b=4，
∴直线AB的解析式为：y=-x+4，
∴设点P的坐标为（a，4-a），
∴$\sqrt{2}$BP=$\sqrt{2}×\sqrt{2}$（4-a）=8-2a，
∵OP²+PQ²=OQ²，
∴2OP²=OB²+BQ²，
∴2[a²+（4-a）²]=4²+BQ²，
解得，BQ²=（2a-4）²，
∵当点P运动至AB的中点时，点Q与点B重合，
∴不合题意，
∴a＜2，
∴BQ=4-2a，
∴$\sqrt{2}$BP-BQ=（8-2a）-（4-2a）=4，
∴$\sqrt{2}$BP-BQ的值没有发生变化，定值为4．

点评 本题考查了坐标与图形性质、等腰直角三角形的性质与判定、直角三角形的判定、一次函数解析式的确定、勾股定理；本题难度较大、综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线才能得出结论．