Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C是AD的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB上一点，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：AB=BD；
（2）若tan∠BEF=2，求证：E是CF的中点；
（3）在（2）的条件下，若OB=2，求BH的值．

Answer 1

分析 （1）连接BC，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据BD是⊙O的切线，得到∠ABD=90°，根据得到结论；
（2）连接OC，根据垂径定理得到OC⊥AB，由tan∠BEF=tan∠CEO=$\frac{OC}{OE}$=2，得到OE=BE，根据全等三角形的性质得到CE=EF；
（3）根据点E是OB的中点，得OE=BE，可证明△COE≌△FBE（ASA），则BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$，由AB是直径，得BH⊥AF，可证明△ABF∽△BHF，即可得出BH的长．

解答 解：（1）连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠ABD=90°，
∵C是AD的中点，
∴BC=AC=CD，
∴∠DAB=45°，
∴∠D=45°，
∴AB=BD；

（2）连接OC，
∵AC=BC，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴OC⊥AB，
∵tan∠BEF=tan∠CEO=$\frac{OC}{OE}$=2，
∴OE=BE，
在△COE与△FBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠COE=∠FBE}\\{OE=BE}\\{∠CEO=∠BEF}\end{array}\right.$，
∴△COE≌△FBE，
∴CE=EF，
∴E是CF的中点；

（3）∵△COE≌△FBE，
∴BF=CO，
∵OB=2，
∴BF=2，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB是直径，
∴BH⊥AF，
∴△ABF∽△BHF，
∴$\frac{AB}{BH}$=$\frac{AF}{BF}$，
∴AB•BF=AF•BH，
∴BH=$\frac{AB•BF}{AF}$=$\frac{4×2}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查圆的有关知识，切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，学会条件常用辅助线，属于中考常考题型．