Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A、B，与y轴正半轴交于点C，OB=OC=3OA．
（1）求a、b的值；
（2）连接AC、BC，点P为第一象限抛物线上一点，过点P作AC的平行线分别交BC、x轴于点E、F，若PE=EF，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点A作x轴的垂线交BC的延长线于点D，点Q为第二象限抛物线上一点，连接BQ、DQ，过点P作y轴的平行线交BQ于点K，连接AK，若△ADQ与△AQK的面积和为$\frac{7}{2}$，求线段PK的长．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出a，b的值，
（2）先确定出直线AC的解析式，进而设出直线PF的解析式，即可得出点F坐标，再确定出点E的坐标，利用中点坐标的确定方法得出点P的坐标，代入抛物线解析式即可得出结论；
（3）设出点Q的坐标，用三角形的面积公式建立方程求出n，即可得出PK的值．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与y轴正半轴交于点C，
∴C（0，3），
∴OC=3，
∵OB=OC=3OA．
∴OA=1，OB=3，
∴A（-1，0），B（3，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+3=0}\\{9a+3b+3=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴a=-1，b=2，
（2）如图2，
由（1）知，a=-1，b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
由（1）知，A（-1，0）．C（0，3），
∴直线AC的解析式为y=3x+3，
∵PF∥AC，
∴设PF的解析式为y=3x+m，
∴F（-$\frac{m}{3}$，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴直线BC 解析式为y=-x+3，
∴E（$\frac{3-m}{4}$，$\frac{m+9}{4}$），
∵PE=EF，
∴P（$\frac{9-m}{6}$，$\frac{m+9}{2}$），
∵点P在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-（$\frac{9-m}{6}$）2+2×$\frac{9-m}{6}$+3=$\frac{m+9}{4}$，
∴m²-3m-54=0，
∴m=-6或m=9（舍），
∴P（$\frac{9}{4}$，$\frac{3}{4}$）；
（3）如图3，
过点Q作QM⊥AB
设Q（n，-n²+2n+3），
∴QM=-n²+2n+3，
∵AD⊥AB，A（-1，0），
点D在直线BC：y=-x+3的延长线上，
∴D（-1，4），
∴AD=4，
延长PK交x轴于F，
∴F（$\frac{9}{4}$，0），
∴BF=$\frac{3}{4}$，BM=3-n，
∵KF∥QM，
∴$\frac{KF}{OQ}=\frac{BF}{BM}$，
∴$\frac{KF}{-{n}^{2}+2n+3}=\frac{\frac{3}{4}}{3-n}$，
∴KF=$\frac{3}{4}$（n+1），
∵△ADQ与△AQK的面积和为$\frac{7}{2}$，
∴S_△ADQ+S_△AQK=S_△ADQ+S_△ABQ-S_△ABK=$\frac{1}{2}$AD•（n+1）+$\frac{1}{2}$AB•（-n²+2n+3）-$\frac{1}{2}$AB•$\frac{3}{4}$（n+1）
=$\frac{1}{2}$×4×（n+1）+$\frac{1}{2}$×4×（-n²+2n+3）-$\frac{1}{2}$×4×$\frac{3}{4}$（n+1）=$\frac{7}{2}$，
∴n=$\frac{9+\sqrt{177}}{8}$（舍）或n=$\frac{9-\sqrt{177}}{8}$，
∴PK=PF-KF=$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4}$（$\frac{9-\sqrt{177}}{8}$+1）=$\frac{3\sqrt{177}-27}{32}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行线的特点，三角形的面积的计算方法，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键．