Question

【题目】函数学习中，自变量取值范围及相应的函数值范围问题是大家关注的重点之一，请解决下面的问题．

(1)分别求出当2≤x≤4时，三个函数：y=2x+1，y= ,y=2(x-1)2+1的最大值和最小值．

(2)对于二次函数y=2(x-m)2+m-2，当2≤x≤4时有最小值为1，求m的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)m=1或m=3.

【解析】

（1）根据函数值在取值范围内的增减性，可求函数的最大值和最小值；

（2）分m＜2、2≤m≤4和m＞4三种情况考虑，根据二次函数的性质结合当2≤x≤4时有最小值为1即可得出关于m的一元二次方程（一元一次方程），解之即可得出结论．

解：（1）∵y=2x+1中k=2＞0，

∴y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y最小=5；当x=4时，y最大=9．

∵y=中k=2＞0，

∴在2≤x≤4中，y随x的增大而减小，

∴当x=2时，y最大=1；当x=4时，y最小=．

∵y=2（x-1）2+1中a=2＞0，且抛物线的对称轴为x=1，

∴在2≤x≤4中，y随x的增大而增大，

∴当x=2时，y最小=3；当x=4时，y最大=19．

（2））①当m＜2时，当x=2时，y最小值为1，代入解析式，

得2（2-m）2+m-2=1，

解得：m1=1，m2=（舍去）；

②当2≤m≤4时，有m-2=1，

解得：m=3；

③当m＞4时，当x=4时，y最小值为1，代入解析式，

得2（4-m）2+m-2=1，

整理得：2m2-15m+29=0．

∵△=（-15）2-4×2×29=-7，无解．

∴m的值为1或3．