【题目】如图,已知直线与抛物线相交于A,B两点,且点A(1,-4)为抛物线的顶点,点B在x轴上。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在(1)中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使△POB与△POC全等?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点Q是y轴上一点,且△ABQ为直角三角形,求点Q的坐标。
【答案】解:(1)把A(1,-4)代入,得k=2,∴。
令y=0,解得:x=3,∴B的坐标是(3,0)。
∵A为顶点,∴设抛物线的解析为。
把B(3,0)代入得:4a-4=0,解得a=1。
∴抛物线的解析式为即。
(2)存在。
∵OB=OC=3,OP=OP,∴当∠POB=∠POC时,△POB≌△POC。
此时PO平分第二象限,即PO的解析式为y=-x。
设P(m,-m),则,解得(,舍去)。
∴P(。
(3)①如图,当∠Q1AB=90°时,△DAQ1∽△DOB,
∴,即。∴。
∴,即。
②如图,当∠Q2BA=90°时,△BOQ2∽△DOB,
∴,即。
∴,即。
③如图,当∠AQ3B=90°时,作AE⊥y轴于E,则△BOQ3∽△Q3EA,
∴,即。
∴,解得OQ3=1或3,即Q3(0,-1),Q4(0,-3)。
综上,Q点坐标为或或(0,-1)或(0,-3)。
【解析】
试题(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式,进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点,那么可以将抛物线的解析式设为顶点式,再代入点B的坐标,依据待定系数法可解。
(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标,在△POB和△POC中,已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相等,那么这两个三角形不能构成全等三角形;若OB等于OC,那么还要满足的条件为:∠POC=∠POB,各自去掉一个直角后容易发现,点P正好在第二象限的角平分线上,联立直线y=-x与抛物线的解析式,直接求交点坐标即可,同时还要注意点P在第二象限的限定条件。
(3)分别以A、B、Q为直角顶点,分类进行讨论,找出相关的相似三角形,依据对应线段成比例进行求解即可。
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:BC=AB;
(3)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MNMC的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,菱形ABCD的边AD⊥y轴,垂足为点E,顶点A在第二象限,顶点B在y轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0,x>0)的图象同时经过顶点C,D.若点C的横坐标为5,BE=3DE,则k的值为( )
A. B. 3 C. D. 5
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线C1:y=mx2﹣2mx﹣3m(m<0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于点D,顶点为M,另一条抛物线C2与x轴也交于A、B两点,且与y轴的交点是C(0,),顶点是N.
(1)求A,B两点的坐标.
(2)求抛物线C2的函数表达式.
(3)是否存在m,使得△OBD与△OBC相似?若存在,请求出m的值;若不存在请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图1,在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点E在AB上,点F在BC的延长线上,且AE=CF,连接EF交AC于点P,分别连接DE,DF,DP.
(1)求证:△ADE≌△CDF;
(2)求证:△ADP∽△BDF;
(3)如图2,若PE=BE,则的值是 (直按写出结果即可).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图是某款篮球架的示意图,已知底座BC=0.60米,底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°,支架AF的长为2.50米,篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米,篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°,求篮框D到地面的距离(精确到0.01米)(参考数据:cos75°≈0.26,sin75°≈0.97,tan75°≈3.73,≈1.73)( )
A. 3.04B. 3.05C. 3.06D. 4.40
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】定义:给定关于x的函数y,对于该函数图象上任意两点(x1,y1),(x2,y2),当x1=﹣x2时,都有y1=y2,称该函数为偶函数,根据以上定义,可以判断下面所给的函数中,是偶函数的有_____(填上所有正确答案的序号)
①y=2x;②y=﹣x+1;③y=x2;④y=﹣;⑤y=x2+3;⑥y=x2+2x+1.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边AB,AD上,且∠ECF=45°,CF的延长线交BA的延长线于点G,CE的延长线交DA的延长线于点H,连接AC,EF.,GH.
(1)填空:∠AHC ∠ACG;(填“>”或“<”或“=”)
(2)线段AC,AG,AH什么关系?请说明理由;
(3)设AE=m,
①△AGH的面积S有变化吗?如果变化.请求出S与m的函数关系式;如果不变化,请求出定值.
②请直接写出使△CGH是等腰三角形的m值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为4,点P是AB边上的一个动点,连接CP,过点P作PC的垂线交AD于点E,以 PE为边作正方形PEFG,顶点G在线段PC上,对角线EG、PF相交于点O.
(1)若AP=1,则AE= ;
(2)①求证:点O一定在△APE的外接圆上;
②当点P从点A运动到点B时,点O也随之运动,求点O经过的路径长;
(3)在点P从点A到点B的运动过程中,△APE的外接圆的圆心也随之运动,求该圆心到AB边的距离的最大值.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com