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    （2013•和平区一模）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OB=2，将矩形折叠，使点O落在边BC（含端点）上，落点记为D，这时折痕与边OA或AC（含端点）交于点E，然后展开铺平，得到△ODE．
    （Ⅰ）如图1，当点D位于BC的中点时，点E的坐标为
    （2，0）
    （2，0）
    ；
    （Ⅱ）如图2，当点E与点A重合时，求△ODE的面积；
    （Ⅲ）如图3，是否存在面积最大的△ODE？若存在，请说明理由，并求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）由折叠性质可知，折痕垂直平分OD，则折痕经过点B，折痕为直线BE，证明四边形OBDE为正方形，即可求得点E的坐标；
    （Ⅱ）当点E与点A重合时，过点D作DF⊥OA于点F，可得DF=OB=2，根据三角形的面积公式即可求得△ODE的面积；
    （Ⅲ）分两种情况讨论：①当点E在边OA上时，根据三角形的面积公式可得S△ODE=
    1
    2
    OE•OB，由OE≤OA得出
    1
    2
    OE•OB≤
    1
    2
    OA•OB=4，则当点E与点A重合时，△ODE的面积最大，最大面积为4；②当点E在边AC上时，过点E作EF∥OA交OB于点F，交OD于点G，根据三角形的面积公式可得S△ODE=S△DGE+S△OGE=
    1
    2
    GE•OB，由GE≤EF得出
    1
    2
    GE•OB≤
    1
    2
    EF•OB=4，则当点E在边AC的中点时，△ODE的面积最大，最大面积为4．然后求△ODE的面积最大时，点D的坐标．①当点E与点A重合时，由折叠的性质及勾股定理求出BD=4-2
    		3
    ，即D（4-2
    		3
    ，2）；②当点E在边AC的中点时，点D与点B重合，易求D（0，2）．
    解答：解：（Ⅰ）如图1，连接OD，作OD的中垂线交OA与点E，连接DE．
    ∵OB=BD，
    ∴点B在OD的中垂线上，即折痕经过点B，折痕为直线BE，
    ∴∠OBE=∠DBE=
    1
    2
    ∠OBD=45°，∠OEB=∠DEB，
    ∵BD∥OE，
    ∴∠OEB=∠DBE=45°=∠DEB，
    ∴∠DEO=∠EOB=∠OBD=90°，
    又OB=OD，
    ∴四边形OBDE为正方形．
    ∴OE=OB=2，
    ∴点E的坐标为（2，0）．
    故答案为（2，0）；

    （Ⅱ）如图2，过点D作DF⊥OA于点F，可得DF=OB=2，
    ∴S△ODE=
    1
    2
    OA•DF=
    1
    2
    ×4×2=4；

    （Ⅲ）存在面积最大的△ODE，其面积为4．理由如下：
    ①当点E在边OA上时，如图3．
    S△ODE=
    1
    2
    OE•OB≤
    1
    2
    OA•OB=4；
    当点E与点A重合时，△ODE的面积最大，最大面积为4；
    ②当点E在边AC上时，如图4．
    过点E作EF∥OA交OB于点F，交OD于点G，
    ∵S△DGE=
    1
    2
    GE•BF，S△OGE=
    1
    2
    GE•OF，
    ∴S△ODE=
    1
    2
    GE•BF+
    1
    2
    GE•OF=
    1
    2
    GE（BF+OF）
    =
    1
    2
    GE•OB≤
    1
    2
    EF•OB=
    1
    2
    S矩形OACB=4．
    当点E在边AC的中点时，△ODE的面积最大，最大面积为4．
    下面求△ODE的面积最大时，点D的坐标．
    ①当点E与点A重合时，如图2．
    由折叠可知，AD=AO=4．
    在Rt△ACD中，DC=
    		AD2-AC2
    =
    		42-22
    =2
    		3
    ，
    ∴BD=4-2
    		3
    ，
    ∴D（4-2
    		3
    ，2）；
    ②当点E在边AC的中点时，点D与点B重合，如图5，
    此时D（0，2）．
    综上所述，△ODE的面积最大时，点D的坐标为（4-2
    		3
    ，2）或（0，2）．
    点评：本题考查的是图形的翻折变换，涉及到矩形、轴对称的性质，难度较大，在解答此题时要利用数形结合的思想进行分类讨论．
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