Question

6．已知：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．请填空：
①任意四边形的中点四边形是平行四边形；
②对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形；
③对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；
④对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形．

Answer 1

分析 根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．需注意新四边形的形状只与对角线有关，不用考虑原四边形的形状依次填空即可．

解答 解：（1）顺次连接任意一个四边形的四边中点，所得四边形是平行四边形．理由如下：
如图，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．连接BD．
∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，
∴EH∥BD，EH=$\frac{1}{2}$BD．
∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，
∴GF∥BD，GF=$\frac{1}{2}$BD，
∴EH=GF，EH∥DF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
（2）顺次连接任意一个对角线相等的四边形各边中点得出的四边形是矩形．理由如下：
∵E，F是中点，
∴EH∥BD，
同理，EF∥AC，GH∥AC，FG∥BD，
∴EH∥FG，EF∥GH，
则四边形EFGH是平行四边形．
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∴平行四边形EFGH是矩形．
（3）顺次连接任意对角线互相垂直的四边形各边中点所得四边形是菱形．理由如下：
如图，连接AC、BD．
在△ABD中，
∵AH=HD，AE=EB，
∴EH=$\frac{1}{2}$BD，
同理FG=$\frac{1}{2}$BD，HG=$\frac{1}{2}$AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，
∴EH=HG=GF=FE，
∴四边形EFGH为菱形．
（4）顺次连接任意一个对角线相等且互相垂直的四边中点，所得四边形是正方形．理由如下：
连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点
∴EF=$\frac{1}{2}$AC，GH=$\frac{1}{2}$AC，EH=$\frac{1}{2}$BD，GF=$\frac{1}{2}$BD
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴EF=GH=EH=GF，
∴四边形EFGH菱形，
∵∠HEF=90°，
∴四边形EFGH正方形，
故答案为：任意，对角线互相垂直，对角线相等，对角线相等且互相垂直．

点评 本题主要考查了三角形的中位线的性质，平行四边形的判定、矩形的判定定理、正方形的判定定理，难度适中，解题的关键是熟记三角形中位线定义以及各种特殊四边形的判定方法．