Question

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）和B，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）设抛物线的顶点为D，连接CD、DB、CB、AC．
①求证：△AOC∽△DCB；
②在坐标轴上是否存在与原点O不重合的点P，使以P、A、C为顶点的三角形与△DCB相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设Q是抛物线上一点，连接QB、QC，把△QBC沿直线BC翻折得到△Q′BC，若四边形QBQ′C为菱形，求此时点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）因为抛物线经过点A和点C，所以把点A和点C的坐标代入抛物线的解析式中得到关于b和c的方程，联立解出b和c，即可得到抛物线的解析式，又因为点B是抛物线与x轴的另一交点，令y=0即可求出点B的坐标．
（2）①根据（1）中求出的抛物线的解析式求出顶点D的坐标，根据OC与OB相等且互相垂直得到三角形COB为等腰直角三角形，得到角OCB为45°，根据勾股定理分别求出CD和BC的长，求出CD与CB的比值及OA与OC的比值，发现两比值相等，且由角DCy与角BCO都等于45°，推出角DCB为90°，而角COA也为90°，根据两边对应成比例且夹角相等，得到两三角形相似，得证；
②考虑两种情况，当P在x轴上（B的右边），且角ACP为直角时，三角形ACP与三角形DCB，相似比为AC比CD，所以AP比DB也等于相似比即可求出AP的长，进而求出P的坐标；当P在y轴的负半轴上时，角CAP为直角，AC比BC为相似比，斜边CP与DB之比等于相似比即可求出CP的长，进而求出P的坐标；写出P的两种情况的坐标即可；
③若四边形QBQ’C为菱形，根据菱形对角线的性质得到QQ′垂直平分BC，得到点Q在线段BC的垂直平分线上，由OB等于OC得到直线QQ′平分角COB，即可求出QQ′的解析式为y=x，将y=x与抛物线的解析式联立即可求出Q的坐标．

解答：解：（1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x²+bx+c得：

-1-b+c=0 c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
令y=0，即-x²+2x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=-1（舍去），
∴点B的坐标是（3，0）；

（2）①证明：可求得顶点D（1，4）；OA=1，OC=OB=3，∠OCB=45°，
由勾股定理求得：CD=

2

，BC=3

2

．
∴

CD

CB

=

2

3 2

=

1

3

=

OA

OC

，
易知：∠DCy=45°，故∠DCB=90°=∠AOC，
∴△AOC∽△DCB．
②存在符合条件的点P有两个：P₁（9，0）或P₂（0，-

1

3

）；

（3）若四边形QBQ′C为菱形，则QQ′垂直平分BC，∴点Q在线段BC的垂直平分线上，
∵OC=OB，
∴直线QQ’平分∠BOC，
即：直线QQ′的解析式为y=x，
∵点Q在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴-x²+2x+3=x，
解得x=

1± 13

2

，
∴Q（

1+ 13

2

，

1+ 13

2

）或（

1- 13

2

，

1- 13

2

）．

点评：此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，掌握两三角形相似的证明方法，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．也是中考中的压轴题．